Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Гамильтониан (13.32), как нетрудно заметить, похож на гамильтониан
маятника с массой {n(du>/dl)i=ip}~1 в поле тяжести с ускорением g =
gn2(du)/dI)i=ipVmn- Фазовый портрет, соответствующий (12.32), может быть
построен на плоскости (Д/, фтп) или с учетом того, что uj(I) = из(1р) +
(dw/dI)i=ipAI, на плоскости (w(7), фтп)-В дальнейшем будем иногда
опускать индексы у фтп и писать просто ф. На рис. 13.11 приведены фазовые
траектории для двух нелинейных резонансов, которые не взаимодействуют
между собой. Область нелинейного резонанса ограничивается сепаратрисами;
внутри этой области изменение фазы фтп ограничено (фазовые колебания). Из
(13.32) для сепаратрисы находим, что Жу = i-inVmn{Ip), когда она проходит
через точку ш = w(7p) (это значит, что AI = 0) и фтп = 2кж (к - целое
число). Тогда максимальный размер по I области, ограниченной
сепаратрисами, можно найти опять-таки из (13.32) при фпт = 7г:
дЖу
тп
(13.35)
HriVmn = [{AI)2v/2]n(dw/dI)I=Ip - gnVTl
тп
и, следовательно,
1/2
(13.36)
Используя (13.36), определим максимальную ширину нелинейного резонанса:
294
Глава 13
где Птп - частота малых фазовых колебаний. Из условия (AI)V/IP 1 следует,
что
(Д/),
= 4
Г-2
1/2
= 4
1/2
аи)1"
"1;
последнее верно лишь при ц а. При умеренной неизохроннос-ти (а < р-1)
величина (Auj)v/w = 4(paFmn/Ipw)1/2 <С 1. Таким образом, при р " а " р-1
использование универсального гамильтониана (13.32) для исследования
нелинейного резонанса разумно, так как и I, иш изменяются мало.
Рис. 13.11. Фазовые траектории вблизи двух резонансов при (i < a < l//i
(умеренная нелинейность): 1 - нейтрально-устойчивое положение равновесия;
2 - эргодический слой; 3 - неустойчивое положение равновесия; нижние
кривые - г-й резонанс, верхние - (г + 1)-й резонанс [10]; штриховые линии
- сепаратрисы первого приближения, которые разрушаются в следующих
приближениях, что приводит к образованию стохастических слоев
(заштрихованные области); Д - частотное расстояние между двумя
резонансами; (Au>)v) - ширина нелинейного резонанса
Какова физика фазовых колебаний? Как мы знаем, при нелинейном резонансе
изменение амплитуды влечет за собой отклонение частоты от резонансного
значения, что стабилизирует амплитуду колебаний. Но расстройка по частоте
естественно приводит к изменению резонансной фазы, из-за чего амплитуда
колебаний опять изменяется, возвращая частоту к резонансному значению,
поскольку амплитуда изменяется в противоположном первоначальному
направлении. Все это относится к изолированному резонансу. От чего
зависит взаимодействие резонан-
13.4. Перекрытие нелинейных резонансов
295
сов? Оно определяется отношением ширины резонанса (Au>)v к расстоянию до
ближайшего резонанса-соседа Д = |сщ+1 - ш,-| (рис. 13.11); это отношение
называется константой связи резонансов [10] и вводится как1
s = (Дш)^/Д. (13.38)
Тогда понятно,что изолированному резонансу соответствует s < 1, а
перекрытие резонансов будет при s > 1. Что произойдет в этом случае? Из
(13.32) следует, что усредненное движение системы в изолированном
нелинейном резонансе на фазовой плоскости и>(1), ф подобно поведению
электрона в потенциальной "яме". Нескольким резонансам соответствует
несколько потенциальных "ям" (см. рис. 13.11). Перекрытие резонансов
означает, что происходит такое сближение соседних "ям", когда система
может переходить из "ямы" в "яму". При таких переходах проявляется новый
вид неустойчивости динамических систем - стохастическая неустойчивость
(см. гл. 22 и 23).
Рассмотренная задача тесно связана с существованием минимального хаоса и
своеобразной формой его проявления - стохастической паутиной [21, гл. 13,
§ 4; 22]. В чем проблема минимального хаоса? Она состоит в отыскании
условий, при которых малые области со стохастическим поведением возникают
при сколь угодно малом возмущении. Самый простой пример системы, в
которой существует минимальный хаос, - два связанных нелинейных
осциллятора с гамильтонианом Ж - Ж\{1\) + Ж2(12) + nV(Ii, 0i; 12, 0г)
(минимальный хаос возникает при сколь угодно малых ц). Фазовое
пространство покрывается некоторой мозаичной структурой - стохастической
паутиной, - представляющей собой ячейки, отделенные друг от друга
стохастическими слоями. Удивительно красивые картинки стохастических
паутин с симметрией пятого и седьмого порядков приведены на цветных
вкладках книги [21] (см. в [21], например, рис. XVII и XIX).
:В переменных /, ip выражение для константы связи между резонансами имеет
вид s = (Д/)^/(/(tm) - /р), где I(tm), /р - резонансные значения действия.
Строго говоря, именно это выражение следует использовать для нахождения
условия перекрытия резонансов.
Глава 14
Периодические автоколебания
14.1. Определение
Большинство окружающих нас в природе и технике нелинейных динамических
систем в общем случае неконсервативно. Практически в любой системе
имеются потери (трение, излучение, нагрев и т. д.), и обычно система не
является энергетически изолированной: на нее действуют различные внешние
