Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Нелинейность в контуре может быть связана и с емкостью, если заряд Q
нелинейно зависит от напряжения U. На рис. 13.16 C(U) - емкость р - n-
перехода или конденсатор с сегне-тоэлектриком. В механике - • эго, в
частности, шарик, катающийся по
274
Глава 13
желобу (рис. 13.1 в). То, что такой шарик - осциллятор, сомнений нет.
Вопрос только в том, в каком случае это линейный осциллятор, а в каком
нелинейный?
€
Л-
Ф(1)
ф
л i
Ю ~1
L Q(U)
а)
г)
Рис. 13.1. Примеры нелинейных осцилляторов: а - колебательный контур,
катушка индуктивности которого содержит ферритовый сердечник (Ф + (Ф) =
О, Ф = L(I)I)\ б - колебательный контур, емкость которого содержит
сегнетоэлектрик (Q + f(Q) = О, Q = C{Q)Uc)\ в - шарик в желобе (x +
dW{x)/dx = О, W(х) - gz(x))\ г- заряженная частица в периодическом
электрическом поле продольной волны (1 - пролетная частица, 2 -
"захваченная" частица, - потенциал поля, х - продольная координата)
Уравнение движения шарика с массой т имеет вид
тпх = - F, F -- mg sin ip = mgdz/dx,
или
x + gdz/dx = 0.
(13.2)
13.2. Качественное и аналитическое описание
275
Здесь g - ускорение свободного падения. В общем виде уравнение (13.2)
можно переписать следующим образом:
х + dW(x)/dx = 0, W(x)=gz(x). (13.3)
Когда W(x) ~ х2 (потенциальная яма имеет параболический профиль), наш
осциллятор линейный. Обратим внимание на важное обстоятельство: форма
потенциальной кривой не совпадает с профилем желоба на плоскости zy.
Если, например, уравнение желоба z = у2, то dy = = dz/(2^/z), а из
соотношения (dx)2 = (dz)2 + (dy)2 следует, что
J л/l + 1/4zdz.
Это уже не параболическая зависимость для потенциальной энергии, как в
случае линейного осциллятора.
Уравнение (13.3) легко интегрируется. Если ввести х = v, то
dvdx , dW(x) dv , dW(x)
-7--7Г-1 j = 0 или v--I --------------------= 0.
dx dt dx dx dx
Тогда получаем v2/2 + W(x) = §, где § - полная энергия нелинейного
осциллятора, a W(x) - его потенциальная энергия.
Представить полную качественную картину движений нелинейного осциллятора
(консервативной нелинейной системы с одной степенью свободы) можно, по
существу, не решая конкретной задачи, просто по виду его фазового
портрета. Из записанного выше выражения для закона сохранения энергии
скорость выражается так:
V = X = ±{2[8 - W(x)}}^-. (13.4)
Это фактически уравнение траекторий на фазовой плоскости для нашей
модели: поскольку энергия сохраняется, мы можем задать 8 при 1 = 0 и,
если известна W(x), легко найти х и нарисовать фазовые траектории (рис.
13.2). Движений с малой начальной энергией §0 < W(x) попросту не
существует, величина х получается мнимой.
Начальному уровню энергии 82 соответствует движение на участках 0 < х <
xq2 и Xi2 < х < Х22, где хо2, х\2 и Х22 определяются из условия х = 0, т.
е. W(х) = §2¦ Фазовые траектории, соответствующие такому движению,
обозначены на рис. 13.2 цифрой 2. Точкам, в которых dW(x)/dx = 0.
соответствуют состояния равновесия. Меняя начальные значения энергии,
можно построить все траектории на фазовой плоскости.
276
Глава 13
Таким образом, движение нелинейного осциллятора полностью определяется
начальной энергией. Колебания малой амплитуды будут
гармоническими. С ростом энергии колебания становятся все более отличными
от гармонических - в периодическом движении большую часть периода
занимают медленные участки, соответствующие взбега-нию шарика на вершину
горки и началу спуска с нее (рис. 13.2). Наконец, при начальной энергии
<?з = = mgh движение шарика перестает быть периодическим (на фазовой
плоскости рис. 13.2 оно изображается сепаратрисой). Проведенный анализ
позволяет сделать очень важное заключение: движение нелинейного
осциллятора неизохронно - частота его колебаний зависит от энергии. Для
финитного движения можно из (13.4) определить период колебаний в виде
Рис. 13.2. Зависимость потенциальной энергии W(ж) и соответствующий этой
зависимости фазовый портрет нелинейного осциллятора
Ж 2 2
Т = j{2[82 - W{x)]}~l/2 dx = 2 J {2[82 - W{x)]~12dx. (13.5)
Для движений, которым соответствует замкнутая траектория, не слишком
близкая к сепаратрисе, можно сказать, что и> = ы(Л2), где А - амплитуда
периодических колебаний. Рассмотрим подробнее ту часть фазовой плоскости,
где расположены два состояния равновесия - седло и центр. Сепаратриса,
выходящая из седла, возвращается в него же (в линейном приближении легко
определить и наклон сепаратрис вблизи состояния равновесия).
Сепаратрисную петлю, изображенную на рис. 13.3 а, называют
двоякоасимптотической траекторией - она приходит к одному и тому же
состоянию равновесия как при t -> оо, так и при t -> -оо. Фазовый портрет
на рис. 13.3 а построен для уравнения х-х{1-х/2) - 0, имеющего интеграл
энергии х2 -х2+х3/3 = const. Зависимость переменной от времени,
соответствующая сепаратрисной петле (рис. 13.3 6), представляет собой
одиночный импульс или, если уравнение (13.1) получено для описания
стационарных волн (см. гл. 19),
