Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
границей между областями начальных условий, из которых система стремится
к различным устойчивым режимам движения (на фазовой плоскости таким
движениям соответствуют притягивающие
а)
6)
14.2. Генератор Ван-дер-Поля
299
множества - аттракторы, например устойчивые состояния равновесия или
предельные циклы1.
Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний генератора,
время движения изображающей точки по циклу - их период, а форма
предельного цикла - форму колебаний. Таким образом, задача об
исследовании периодических автоколебаний в системе сводится к задаче
нахождения предельных циклов в фазовом пространстве и определения их
параметров. Общий метод для нахождения предельных циклов (как, например,
для определения координат и типов состояний равновесия) не известен даже
для систем второго порядка. Правда, на основании теории индексов Пуанкаре
(см. гл. 15) мы можем сформулировать некоторые критерии отсутствия
предельных циклов на фазовой плоскости; например, если в системе нет
состояний равновесия, то в ней не может быть и предельных циклов, или
если единственное состояние равновесия является седлом, то предельных
циклов тоже нет и т.д.
14.2. Генератор Ван-дер-Поля. Зависимость формы автоколебаний от
параметров системы
Схема генератора Ван-дер-Поля (рис. 14.1 б) и описывающее ее уравнение
Ван-дер-Поля
и сейчас, спустя полвека после появления, служат основной моделью
автоколебаний с одной степенью свободы. Для уравнения (14.1) и для
уравнения Рэлея
которое после дифференцирования и замены переменной у = х принимает вид
(14.1) с а = <х, (3 = З7. w0 = 1, существование предельных циклов
доказать сравнительно просто.
Уравнение Ван-дер-Поля легко получить для лампового генератора, например,
с колебательным контуром в цепи сетки, принципиальная схема которого
изображена на рис. 14.1 б. Будем пренебрегать сеточными токами. На
основании законов Кирхгофа для колебательного контура / = -CdU/dt,RI = U
- Ldl / d,t - Mdlaj dt. Величина -Mdla/dt есть
1 Других аттракторов в грубых двумерных системах быть не может. В трех-
мерных системах могут быть более сложные аттракторы, о чем будет
рассказано в гл. 22-0 стохастических колебаниях в простых системах.
х - а( 1 - f3x2)x + uj^x = О
(14.1)
у-а( 1 - 7у2)у + у = О,
(14.2)
300
Глава Ц
ЭДС, которая наводится в контуре под воздействием на него анодного тока
1а, протекающего по катушке в цепи анода (слагаемое -Mdla/dt можно
назвать ЭДС обратной связи). Из написанных уравнений следует, что
LCd2U/dt2 - [MS(U) - RC]dU/dt + U = 0, (14.3)
где S(U) = dla/dU - крутизна характеристики лампы в пренебрежении анодной
реакцией (предполагается, что анодный ток 1а зависит лишь от U, поэтому
dla/dt = (dIa/d,U)dU/dt = s(U)dU/dt. Уравнение (14.3) есть нелинейное
уравнение лампового генератора. Предположим далее, что анодно-сеточную
характеристику лампы можно аппроксимировать полиномом Ia = Ia0 + SoU -
S2U3 (рис. 14.1в). Это означает, S(U) = S0 - S2U2, и уравнение (14.3)
принимает вид (14.1), где
а = (MS0 - RC)/(LC), /3 = 2MS2/(RC - MS0), ц} = 1 /{LC).
(14.4)
Величина параметра а показывает, насколько сильно возбужден генератор
(при а < 0 условия возбуждения не выполнены). Величина (3 характеризует
амплитуду автоколебаний: чем меньше (3. тем больше амплитуда. Вводя
безразмерные переменные и параметры т = aigt, х = /З^2, у - аи>о, получим
окончательно
х - у(1 - х2)х + х = 0. (14-5)
Как будет зависеть форма предельного цикла от параметра у? При д/, = 0
система становится линейной консервативной. Естественно ожидать, что при
малом //. (//. <SC 1) автоколебания будут мало отличаться от
гармонических колебаний, а нелинейное трение лишь "выбирает" амплитуду
устойчивого предельного цикла. При больших у, форма колебаний может
существенно отличаться от синусоидальной.
Одним из методов нахождения предельных циклов является метод графического
построения интегральных кривых на фазовой плоскости - метод изоклин.
Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к
интегральным кривым имеют одинаковый наклон. Запишем уравнение (14.5) в
виде х = у, у = у(1 - х2)у - х. Уравнение интегральных кривых будет
таким:
dy/dx = [/*(1 -х2)у-х]/у. (14.6)
14.2. Генератор Ван-дер-Поля
301
Пусть наклон интегральной кривой в некоторой точке М0(хо, уо) равен к, т.
е. (dy/dx)Mo = к. Тогда из (14.6) получим
к = [/z(l - х2)у - х]/у.
(14.7)
Если х = 0, то к - р., т. е- °сь у пересекается интегральными кривыми под
тем большим углом, чем больше у. При у = 0 касательные к интегральным
кривым вертикальны. Давая к различные значения, из (14.7) будем получать
уравнения разных изоклин у = х/[у(1 - х2) - fcj. Строя затем семейства
изоклин, можно построить интегральные кривые, а следовательно, и фазовые
траектории. Фазовые портреты, полученные таким методом для уравнения
(14.5) при различных значениях у, изображены на рис. 14.3. На рис. 14.4
приведены осциллограммы, иллюстрирующие характер установления и форму
