Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
13.2. Качественное и аналитическое описание
277
солитон. Этот импульс имеет бесконечные "хвосты" - время движения вблизи
состояния равновесия х = 0 бесконечно возрастает. Действительно, в
окрестности седла уравнение движения имеет вид х - х = О или х = у, у =
х, т. е. при х -> 0, у -1 0 система приближается к состоянию равновесия и
удаляется от него с бесконечно малой скоростью и, следовательно,
бесконечно долго.
Рис. 13.3. Фазовая плоскость (1 - овал соответствует периодическим
колебаниям, близким к гармоническим; 3 - сепаратрисная петля
соответствует солитону) (а), солитон с бесконечными "хвостами"
(осциллограмма переменной х) длительностью т (б) и осциллограмма
кноидального движения, соот-ветствущего траектории 2 (е)
Как мы увидим дальше, особое решение, которому на фазовой плоскости
соответствует петля сепаратрисы (рис. 13.3 а), вызывает большой интерес в
теории нелинейных волн. Например, волны на поверхности "мелкой воды"
приближенно можно описать уравнением Кортевега-де Вриза
Если интересоваться только волнами, бегущими с постоянной скоростью и не
меняющими своего профиля: и - и(х - Vt) (стационарными волнами), то после
подстановки можно получить из (13.6) уравнение нелинейного осциллятора,
фазовая плоскость которого приведена на рис. 13.3 а.
Каково время движения по другим траекториям, например по траекториям типа
1 на рис. 13.3 а? Это -- движение на дне потенциальной ямы,
следовательно, это - почти линейные колебания, и их частота определяется
из линеаризованной задачи. Для траекторий типа 2 на рис. 13.3 а, близких
к сепаратрисе, зависимость x(t) приведена на рис. 13.3в. В том случае,
если в (13.3) dW(x)/dx = sinx, т. е. наш осциллятор - это просто маятник,
получается известное точное решение, выражающееся через эллиптический
интеграл [3].
а)
б)
в)
t
ut + v0 их + иих + (Зиххх = 0.
(13.6)
278
Глава IS
Рассмотрим еще один пример - поведение электрона в периодическом
электрическом поле продольной волны (рис. 13.1 г). Пусть потенциал поля
изменяется по закону р = р0 cos(wi - кх). Проще всего описать движение
электрона, написав уравнение движения в системе координат, связанных с
волной. Тогда потенциал р = ро cos кх, и искомое уравнение имеет вид
тпех + ерок sin кх = 0. (13-7)
Фазовый портрет, соответствующий (13.7), приведен на рис. 13.4. Если
пустить электрон в такое поле с достаточно большой скоростью, то он
Рис. 13.4. Фазовый портрет нелинейного осциллятора, описывающего движения
захваченных частиц (траектории типа 2) и пролетных частиц (траектории
типа 1) в поле волны (см. рис. 13.1 г)
не "захватывается" волной и бежит вдоль нее, испытывая лишь колебания
скорости. Таким "пролетным" частицам соответствуют траектории типа 1 на
рис. 13.4. Если же начальная скорость меньше некоторой критической,
определяемой из соотношения mev^p/2 < еро- то электрон попадет в
потенциальную яму и будет там колебаться. Таким колебательным движениям
на рис. 13.4 соответствуют траектории типа 2. Интересно, что уравнение
(13.7) является асимптотическим уравнением движения электрона в
элементарной теории лазера на свободных электронах с высокодобротным
резонатором типа Фабри-Перо в условиях, когда амплитуду волны можно
считать постоянной [4] (см. гл. 11).
Как мы видели, одно из основных свойств нелинейного осциллятора - это его
неизохронность. Влияет ли неизохронность на устойчивость движения?
Очевидно, да -- две соседние точки на близких
13.2. Качественное и аналитическое описание
279
траекториях со временем разойдутся по фазам, т. е. устойчивости по
Ляпунову уже нет, однако орбитальная устойчивость для траекторий типа 1 и
2 сохраняется (это видно из фазового портрета). Вблизи сепаратрисы, как
легко видеть, нет и орбитальной устойчивости.
Система, которую мы рассматриваем, консервативна. В общем случае
установить факт принадлежности той или иной динамической системы, фазовое
пространство которой представляет собой плоскость, к классу
консервативных совсем не всегда так просто, как в предыдущих случаях.
Консервативность - это сохранение энергии. Однако в системах,
описывающих, например, химическую реакцию или сосуществование двух
биологических видов, зачастую невозможно даже ввести энергию.
Действительно, в обозначениях гл. 1 система уравнений (1.11)
Ni = Ni(ei - 71^2); N2 - -N2(82 - 72IY1);
описывающая "взаимоотношения" вегетарианцев и хищников, на первый взгляд
кажется неконсервативной. В то же время фазовый портрет этого нелинейного
осциллятора, представленный на рис. 13.5 а, 11 выглядит так же, как и у
механических консервативных систем, - дело в том, что у системы есть
интеграл движения
72IV1 + jiN2 - ?2 lnTVj - ?1 \nN2 = const.
Таким образом, с точки зрения теории колебаний необходимым признаком
консервативности двумерной системы мы должны считать существование
однозначного интеграла движения вида ,^(х. х) = С.
Можно построить поверхность г = §>(х, х) и, пересекая ее плоскостями z =
