Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
модели которой обычно были чисто консервативными. Однако тогда же А.
Пуанкаре создал теорию предельных циклов и даже появились отдельные
экзотические примеры. в которых обнаружились незатухающие колебания в
системах с трением [1].
2Замечательно, что сейчас в определенном смысле круг замыкается - центр
тяжести интересов нелинейной теории волн вновь смещается в сторону задач
газо-и гидродинамики, что определяется быстро расширяющимися
исследованиями процессов в атмосфере и океане Земли.
272
Глава 13
Становление же нелинейной теории колебаний было гораздо более быстрым. На
базе задач интенсивно развивавшихся в начале века радиотехники, теории
регулирования и, конечно, классической механики уже к середине 30-х годов
сформировались основы классической теории нелинейных колебаний.
Определяющий вклад в создание этой теории был внесен Л. И. Мандельштамом
[2] и его учениками. Полностью был исследован нелинейный осциллятор, были
обнаружены эффекты обмена энергией в системе связанных осцилляторов, уже
была, в основном, построена Андроновым и Ван-дер-Полем теория
периодических автоколебаний, открыты явления синхронизации и конкуренции
и даже предпринята Виттом попытка построения теории автоколебаний
распределенных систем.
Однако классическая теория колебаний - это, за редким исключением, теория
систем с небольшим числом степеней свободы - систем, демонстрирующих
простое периодическое или квазипериодическое поведение. Для современной
теории характерен существенный интерес к сильнонелинейным системам, к
исследованию сложного поведения (в том числе и стохастического) простых
динамических систем, к поведению ансамблей.
Возвращаясь к вопросу о параллельном изложении теории колебаний и теории
волн, еще раз подчеркнем, что в теории волн существуют явления, имеющие
буквальную аналогию в теории колебаний. Такова, например, аналогия между
пространственными биениями воли при их стационарном взаимодействии в
нелинейной среде и временными биениями в связанных нелинейных
осцилляторах. Здесь будет уместно ответить на вопрос: почему и до каких
пор волновому (распределенному) эффекту можно непосредственно
сопоставлять эффект конечномерный (а точнее, маломерный), т. е. для
описания волновой системы использовать модель, фазовое пространство
которой имеет небольшую размерность? Ответ на этот вопрос следует из
сопоставления нелинейных волновых процессов в двух предельных случаях - в
средах с сильной дисперсией и малой нелинейностью и в нелинейных средах
без дисперсии [18, 19]. При распространении волны, например, в сжимаемом
газе или на поверхности мелкой воды (дисперсии нет) вершина волны
движется быстрее ее основания, волна непрерывно искажается и в некоторый
момент происходит ее опрокидывание - профиль должен стать неоднозначным.
Такой процесс, очевидно, уже не описывается конечномерной моделью.
Причину этого удобно пояснить с помощью очень наглядного спектрального
подхода. В среде без дисперсии фазовая скорость малых возмущений любой
частоты одинакова. И поэтому все
13.2. Качественное и аналитическое описание
273
(даже слабые) появляющиеся из-за нелинейности гармоники резонансны с
основной волной и эффективно возбуждаются ею. Таким образом, если бы мы
захотели описать процесс с помощью набора гармоник, нам бы пришлось
учесть их бесконечно много.
Если же при слабой нелинейности дисперсия велика (как, например, для
сред, в которых распространяются нелинейные световые волны), то в
синхронизме могут оказаться лишь несколько волн, и поэтому можно
воспользоваться прямыми аналогиями с процессами в колебательных системах
с небольшим числом степеней свободы. Таким образом, эти прямые аналогии
возможны, когда фиксирована структура взаимодействующих волн и их
немного. Подчеркнем здесь, что эти волны вовсе не обязательно должны
быть, как в приведенном примере, синусоидальными в пространстве. Эти
волны могут быть сами по себе уже установившимся результатом
взаимодействия большого числа гармонических волн (например, нелинейные
стационарные волны в средах со слабой дисперсией). Важно лишь, чтобы при
взаимодействии друг с другом во времени они вели себя как хорошо
детерминированные объекты с известными характеристиками.
После этих кратких замечаний перейдем непосредственно к обсуждению
явлений, эффектов и моделей нелинейной теории.
13.2. Качественное и аналитическое описание. Примеры нелинейных систем
Подобно тому как "линейную" часть книги мы начали с обсуждения линейного
осциллятора, эту часть начнем с исследования нелинейного осциллятора,
уравнение которого имеет вид
x + f{x)=0. (13.1)
Если /(.с) - линейная функция, то это - линейный осциллятор (см. гл. 1).
Какие физические задачи приводят к уравнению (13.1), если /(ж) -
нелинейная функция?
Уравнение (13.1) описывает, например, колебательный контур, катушка
индуктивности которого содержит ферритовый сердечник, что приводит к
нелинейной зависимости магнитного потока Ф от тока I (рис. 13.1 а).
