Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости, то на движение исключается влияние момента силы тяжести. Если
осторожно прикасаться пальцем к стержню маятника и отводить его в
сторону, то палец чувствует давление, производимое вибрационным моментом,
и легко убедиться, что его наибольшая величина соответствует углу
поворота в 45°" [14]. Когда маятник находится в обычном устойчивом
положении, колебания подвеса приводят к уменьшению периода колебаний
маятника. Это значит, что любые вертикальные колебания, влияющие на часы,
с периодом, меньшим периода маятника часов, всегда будут ускорять их ход
(это П. JI. Капица демонстрировал на двойном маятнике [14]).
Изложенная выше теория была в дальнейшем обобщена на случай трехмерного
движения в электромагнитных полях [15]; было, в частности, предложено
использовать движение электронов в слабо неоднородных переменных полях
для создания СВЧ-генераторов [16]. Недавно подобный подход был успешно
применен в теории определенного типа лазеров на свободных электронах,
действие которых основано на излучении электронов в периодических
статических полях (убитрон) и рассеянии волн потоками релятивистских
электронов (скаттрон) [17, 18]. Схема таких лазеров дана на рис. 11.8.
Простейшая теория применительно к схеме рис. 11.8г изложена в [19]. В
инерциальной системе отсчета К', которая движется поступательно в
положительном направлении оси х (направление движения электронного
потока) со скоростью, равной фазовой скорости комбинационной волны Нф =
Sl/kx = (ws - - u>i)/(ks cos ips + kiC0S(fii), поле двух волн,
воздействующих на пучок:
Е = Re{Ej ехр[г(ш*1 - к*г)] + Es ехр[г(ш81 - ksr)]}, является
одночастотным: Е' = Re[E(r) ехр(гш?)]. Тогда в выбранной
238
Глава 11
IMP1MPMP,
¦I'X/VWW-СО,
б)
д)
Рис. 11.8. Схема лазеров на свободных электронах: а - убитрон (генератор,
роль системы накачки в котором выполняет периодическая магнитная система
1); в спектре тока пучка возникают гармоники, скорость которых больше
скорости света; они и взаимодействуют с полем резонатора сигнала 2; б-
скаттрон (генератор с зеркальным отражением от быстро движущегося
переднего фронта пучка электронов 1): е - скаттрон (генератор с
рассеянием волны накачки на возмущениях плотности 1, вызванных
комбинационной волной на частоте сщ - ал, приводящим к появлению сигнала;
накачка (индекс г) и сигнал (индекс в) могут соответствовать различным
типам колебании электродинамической структуры): г, д- схема модели
скаттрона, используемой в теории
системе координат усредненное движение электрона, скорость которого v1 с,
определяется силой (сила Миллера [15])
Е' = -[e2/(4mw2)]V'|E|:
Эта сила при постоянных Е,- и Es, определяется только комбинацион-
11.4. Движение в быстро осциллирующем поле
239
ной волной; выражение для F' приведено для случая отсутствия фокусирующих
электроны полей. При таком подходе физические процессы в скаттроне можно
интерпретировать как излучение частиц при условии их пространственного
резонанса с волновыми биениями: v т Уф я" (ша - u>i)/xx, ус - ks - к,- (v
- скорость электронов). Поскольку воздействие комбинационной волны
аналогично воздействию обычной волны, механизм индуцированного рассеяния
качественно выглядит следующим образом. При воздействии двух волн с
частотами ш,-и и амплитудами Е; и Ев, на электронный поток на электроны
начинает действовать периодическая сила с разностной частотой ws - w; и
амплитудой EiEs. При условии v и г>ф комбинационная волна, воздействуя на
пучок, приводит к его группированию; при этом плотность электронов
изменяется по амплитуде пропорционально EiEs/(u>i - ujs)2 с частотой u>s
- u>i. Поскольку диэлектрическая проницаемость электронного потока и его
показатель преломления определяются плотностью электронов, изменение
плотности означает и изменение этих величин. При этом волна накачки (Ei,
ц;,-) рассеивается на возмущениях показателя преломления. Но тогда
разностная частота - щ,- и частота накачки u>i складываются, что приводит
к появлению волны сигнала с частотой uis. Благодаря условию синхронизма
(v к. г>ф) сгруппированный электронный поток усиливает поле
комбинационной волны так же, как в лампе бегущей волны, поэтому теория
скаттрона аналогична теории ЛБВ (см. гл. 7) с заменой высокочастотного
электрического поля в ЛБВ на эффективное поле комбинационной волны.
Глава 12
Адиабатические инварианты. Распределение волн в неоднородных средах
12.1. Приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна и адиабатические инварианты
Уже из рис. 11.3 6 видно, что, если частота и)р изменения параметра
системы много меньше собственной частоты и>о {и>Р и>о), неустойчивости
практически нет: зоны неустойчивости становятся все более узкими по мере
увеличения отношения Шо/шр. Этот случай очень медленного, так называемого
адиабатического изменения параметра (примером могут служить колебания
маятника, длина которого медленно изменяется) очень интересен с
колебательно-волновой точки зрения и в то же время часто встречается в
