Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 828

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 822 823 824 825 826 827 < 828 > 829 830 831 832 833 834 .. 942 >> Следующая

Уравнения (12.38) и (12.39) совпадают с уравнениями эйконала и переноса.
Определив Ф и /о, найдем Д и т. д.
Основным уравнением геометрической оптики считают уравнение эйконала -
нелинейное уравнение в частных производных первого порядка:
(ЗФ/дж)2 + (0Ф/ду)2 + (0Ф/&г)2 = п2(.т. у, г). (12.41)
1Уравнение (12.38) соответствует приравнению членов ~ кq, (12.39) -
членов /vq, а (12.40) - членов ~ к°.
252
Глава 12
Введем обозначения ё?Ф/дх = рх, d'S/dy = ру, (9Ф/dz - pz; тогда (1Ф = =
pxdx+pydy+pzdz и уравнение (12.41) превращается в систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
dx/px = dy/py = = йФ/[2(р^ +Ру +Рг)] =
= dpx/(dn2/dx) = dpy/(dn2/dy) = dpz/(dn2/dz) - ds/(2n), (12.42)
где ds - элемент траектории луча, а величина s введена как независимая
переменная, смысл которой будет ясен из дальнейшего. Приравнивая каждый
член в системе (12.42) последнему, получаем
dpx/ds = (дп2/дх)/(2тг), dpy/ds - (дп2 / ду) / (2п), (12.43)
dpz/ds = (дп2/dz)/(2n), d'&/ds = n.
Введем новые переменные: lx = рх/п, ly = ру/п, lz = Pz/n, l2+l2+l2 = 1,
которые являются направляющими косинусами луча (dx/ds = lx. dy/ds - ly.
dz/ds = lz). Используя их, легко показать, что из уравнений (12.43)
следует уравнение
Поскольку |/| = 1, из соотношения dr/ds = I находим, что (ds)2 = = (dx)2
+ (dy)2 + (dz)2. Из последнего соотношения видно, что s есть длина кривой
r(s), а 1 - единичный вектор, касательный к кривой r(s).
При п = const, т. е. в однородной среде, уравнение (12.44) превращается в
уравнение d2r/ds2 = 0. В результате интегрирования последнего получаем
для г уравнение прямой линии г = as + Ь, что очевидно, так как в
однородной среде лучи прямолинейны. В общем случае, когда п = п(г),
уравнение (12.44) вместе с граничными условиями, задающими направление
луча при г = г0, позволяет найти траекторию луча r(s). Когда траектория
луча найдена, эйконал (или фаза) может быть определен из уравнения d^/ds
= п в виде криволинейного интеграла вдоль траектории луча в следующем
виде:
dx/ds = рх/п, dy/ds-Ру/п, dz/ds =pz/n,
(12.44)
в
(12.45)
А
Лучи r(s) ортогональны к поверхностям Ф = const. Поскольку волна в
геометрической оптике рассматривается как пучок лучей, изменение
12.3. Распространение волн в неоднородных средах
253
интенсивности вдоль луча можно найти, используя уравнение переноса
(12.34), которое удобно записать в другой форме, умножая (12.34) на /о и
учитывая, что 2/0V/o = V/g • Тогда получим уравнение, эквивалентное
уравнению переноса, в такой форме:
Рассмотрим некоторую поверхность Ф' = const и выделим на ней маленькую
площадку dai, ограниченную пучком лучей, на которой / = /'. Проведем эти
лучи до пересечения с другой поверхностью Ф" = const, на которой пучок
ограничит площадку йод, а / = /". Проинтегрируем уравнение (12.47) по
объему, заключенному внутри выделенной лучевой трубки. Тогда согласно
теореме Гаусса
где m - единичный вектор внешней нормали к поверхности, так что на
боковой поверхности трубки скалярное произведение 1т = 0, на поверхности
da1 lm = -1, а на поверхности da2 lm = 1. Таким образом, внутри лучевой
трубки
где dcr - текущее сечение трубки, n/g пропорционально плотности потока
энергии, nfgda пропорционально энергии, перено :мой волной вдоль лучевой
трубки. Из уравнения (12.49) для интенсивности имеем
Выше было показано, что в однородной среде лучи распространяются
прямолинейно. Какова интенсивность волны в этом случае? Выделим на какой-
либо волновой поверхности анализируемого пучка элемент da, как это
показано на рис. 12.1. В точке О пересечения луча MN с данной волновой
поверхностью последняя имеет в общем случае два различных радиуса
кривизны, центры Оi и 02 которых лежат на луче MN. Пусть аЪ и cd -
элементы двух главных кругов кривизны, проходящих через точку О; тогда
центры этих кругов лежат в точках 01,
У(/02УФ) = 0.
Но grac^ = п\, и поэтому из уравнения (12.46) следует, что
div(/02nl) = 0.
(12.47)
(12.46)
(12.48)
V
Е
niiffdax = n2(f")2da2 = nf^da = const = /020, (12.49)
/о = flo/inda) = (f')2nida / (n da).
(12.50)
254
Глава 12
и Oi. Длины отрезков аЪ и cd пропорциональны соответственно радиусам Ri =
OiO и R.2 = О2О. а площадь элемента волновой поверхности da ~ RiR2. Тогда
из уравнения (12.50) находим, что
/о и const/(R1R2). (12.51)
Из формулы (12.50) можно сделать вывод, что интенсивность вдоль луча есть
функция расстояния от определенных центров кривизны волновых поверхностей
(определенных точек на луче). Если оба радиуса кривизны совпадают, то
/о и const/i?2, (12.52)
а поле волны
/ = const ¦ exp( - ikR). (12.53)
Как следует из формул (12.52) и (12.53), пучок лучей испускается точечным
источником или сходится в точку, а волновые поверхности - концентрические
сферы. При Ri -> 0 или R2 -I> 0 (в центре кривизны волновых поверхностей)
интенсивность обращается в бесконечность. Рассмотрим, учитывая это
свойство, всевозможные лучи пучка. Такое рассмотрение приводит к выводу,
что интенсивность волны обращается в бесконечность на двух поверхностях,
Предыдущая << 1 .. 822 823 824 825 826 827 < 828 > 829 830 831 832 833 834 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed