Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 822

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 816 817 818 819 820 821 < 822 > 823 824 825 826 827 828 .. 942 >> Следующая

изменяются с характерными временами Т ~ 2ж/шо и т ~ 27г/П соответственно,
а ц ~ w0/0 <С 1.
Такой вид искомого решения физически оправдан, поскольку благодаря
инерционности, осциллятор должен слабо откликаться на быстрые внешние
пульсации. Подставляя это решение в (11.28) и учитывая, что
f(X + их) " f(X) + vx(df/dx)x, F(X + fix) * F(X) + fiX(dF/dx)x, получаем
уравнение
X + nx = ~f(X) - fix(df /дх)х + [F(X)+ fj,x{dF/dx)x] cos tit. (11.29)
11.4. Движение в быстро осциллирующем поле
235
Это уравнение содержит пульсационные и медленно изменяющиеся слагаемые.
Отделить одни от других очень просто, усреднив (11.29) за период т =
2тг/П. В результате получаем два связанных уравнения:
Пользуясь тем, что в последнем уравнении член gx имеет порядок fifl2x ~
6JqQx и5 следовательно, не мал, а слагаемое fix(df/дх)х мало, второе
уравнение можно сразу проинтегрировать. В результате найдем
т. е. при интегрировании по быстрому времени функцию F(X) можно считать
константой. Подставляя далее (11.30) в уравнение для X, получим X + f(X)
= - ([F(X)/Q2](dF/dx)x cos fit), откуда окончательно
Мы получили очень важный результат, совершенно неожиданный с точки зрения
интуитивных представлений: вместо того, чтобы, "мелко вибрируя" под
действием быстрых внешних пульсаций, сохранить среднее движение по
траекториям, совпадающим с траекториями автономного аналога, наш новый
эффективный осциллятор ведет себя совершенно иначе - в возвращающей силе
появилось дополнительное, не малое слагаемое, пропорциональное квадрату
амплитуды внешних пульсаций.
Впервые этот результат был получен в 1951 г. П. JI. Капицей и применен к
расчету маятника с быстро вибрирующим подвесом [13, 14]. Теоретическая
модель маятника Капицы и схема прибора для опытов с вибрирующим маятником
представлены на рис. 11.7. Уравнение движения маятника Капицы имеет вид
где М$ - момент внешних сил (когда момент внешних сил создается силой
тяжести, М$ = m,gL sin??) [13]. В предположении, что '9[t) = ip(t) + P(t)
(<p(t) и (3{t) имеют тот же смысл, что и X(t) и fix(t) соответственно),
для усредненных за время т = 2п/и> величин будем иметь
X и -f(X) + (fix(dF/dx)x cos fit), MX = -VX(df/dx)x + F(X) cos fit.
X= -[F(X)/fiSl2] cos Sit,
(11.30)
имеем
mL2{) = M$ - mLaui2 sin uit sin $,
(11.31)
(Щ)) и <p, {(3{t)) = 0,
236
Глава 11
Рис. 11.7. Маятник с вибрирующим подвесом [13]: а - теоретическая модель;
математический маятник длиной L и массой m свободно вращается в точке
подвеса А, которая колеблется вдоль оси (около точки О) с частотой ш и
амплитудой а; б - схема прибора для опытов с маятником Капицы; на оси
электромотора 1 от швейной машинки (частота вращения 4000-6000 мин-1)
эксцентрично насажен шариковый подшипник 2, к обойме которого присоединен
шатун 3; он приводит в колебание рычаг 4, один конец которого вращается в
неподвижной опоре; на другой конец рычага подвешивается стержень маятника
5 (L " 150 мм) так, чтобы он свободно качался (а а 3 4- 4мм)
т. е., как и в предыдущем случае, мы исключаем из уравнения движения
путем усреднения угол /3, а угол § заменяем углом <р, характеризующим то
положение маятника, около которого происходят мелкие вибрации. Результат
влияния вибрации точки подвеса на колебания маятника в этом приближении
оказывается простым: появляется "вибрационный" момент, который ведет себя
как пара сил, стремящихся расположить маятник так, чтобы его стержень
всегда был ориентирован по направлению вибраций подвеса, т. е. вдоль оси
у. Этот момент выражается следующей формулой:
(М) = - (ma2w2/4) sin2<p. (11.32)
Он не зависит от длины маятника и пропорционален квадрату амплитуды
колебаний подвеса. Уравнение движения (11.31) с учетом (11.32) теперь
можно представить в виде тЬ2ф = Мэф, где Мэф = Mv - - (ma2w2/4) sin2<p
(Mv получается из М$ заменой угла & на <р). В поле силы тяжести Mv =
mgLsmip, т. е. среди состояний равновесия маятника, определяемых из
равенства МЭф = 0, имеется тривиальное состояние равновесия = 0,
соответствующее положению маятника "вверх ногами". Чтобы это состояние
равновесия было устойчивым, необходимо выполнение условия (dM^/d(p)v=o <
0, откуда условие устойчивое-
11.4. Движение в быстро осциллирующем поле
237
ти имеет вид а2и>2 > 2gL. При выполнении этого условия вертикальное
положение маятника Капицы (рис. 11.7а) устойчиво. На опыте это выглядит
так: "Когда прибор приведен в действие, то стержень маятника ведет себя
так, как будто для него существует особая сила, направленная по оси
колебания подвеса. Поскольку частота колебаний подвеса велика, то
изображение стержня маятника воспринимается глазом несколько размытым, и
колебательное движение незаметно. Поэтому явление устойчивости производит
неожиданное впечатление. Если маятнику сообщить толчок в сторону, то он
начинает качаться, как обычный маятник ... Эти колебания затухают, и
маятник приходит в вертикальное положение" [13].
"Если повернуть прибор так, что маятник колеблется в горизонтальной
Предыдущая << 1 .. 816 817 818 819 820 821 < 822 > 823 824 825 826 827 828 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed