Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
. Что
y/b)j,(t) L о
теперь является адиабатическим инвариантом? Запишем йй* = uin(t)\A\2:
видно, что инвариантом является величина йй*/w"(t) = const. В чем
физический смысл этого инварианта? Легко показать, что йй* = ??*, если
й/и = й*/и*. Последнее выполняется, т. е. и и и* изменяются во времени
одинаково, поскольку уравнение (12.22) - уравнение с действительными
коэффициентами. Но ??* = х2+у2 = r^,rflerj_-скорость поперечного вращения
электрона. Таким образом, v\/wa{t) = const, или §KVm/B{t) - const, т. е.
кинетическая энергия электрона меняется пропорционально амплитуде
магнитного поля. Величина uu*cj(t)л = = \ А\2 - также адиабатический
инвариант, откуда (х2 +y2)ui" = const,
12.3. Распространение волн в неоднородных средах 247
но Vj_ = (х2 + y2)u>h т. е. это уже известный нам инвариант. Мы пришли к
интересному выводу: энергия электрона-осциллятора в медленно изменяющемся
магнитном поле может сильно изменяться. Например, электрон-осциллятор
может непрерывно отдавать высокочастотную энергию полю. Такое произойдет,
если квазистатическая составляющая поля будет медленно уменьшаться во
времени.
12.3. Распространение волн в неоднородных средах. Приближение
геометрической оптики
Распространение волн в неоднородных средах - средах, свойства которых
изменяются в пространстве, -¦ отличается разнообразием возможностей.
Однако математически задачу о распространении гармонической волны в
неоднородной среде можно в большинстве случаев свести к отысканию решения
уравнения Гельмгольца
X2f + k2(x, у, z)f = 0 (12.23)
для скалярной функции /. Понятно, что решение уравнения (12.23) в первую
очередь определяется различным выбором функции к2(х, у. z).
Наиболее простой задачей является случай, когда к2 зависит только от
одной координаты, например от координаты х декартовой системы, что
соответствует слоисто-неоднородной среде. В некотором приближении такими
средами являются атмосфера и ионосфера Земли, морская вода, земная кора,
оптические волокна и др.
В общем случае распространение плоской волны в среде, свойства которой
зависят от х. описывается уравнением
д2и _ ?(х) д"и дх2 Уф dt
~ = 0, (12.24)
где е(х) - функция, характеризующая свойства среды (для электромагнитных
волн это диэлектрическая проницаемость) и плавно изменяющаяся вдоль х. а
Тф - фазовая скорость волны (физическая природа волны нам пока не важна)
в однородной среде.
Будем интересоваться стационарным распространением монохроматической
волны, т. е. будем считать, что
и(х, t) = и(х)е1Ш1 + к. с.
(12.25)
248
Глава 12
и амплитуда волны не зависит от времени. Это значит, например, что в
случае падения волны вида exp(iiat - ikx) на границу среды мы должны
подождать достаточно долго, чтобы в среде установился стационарный
процесс. Для решения типа (12.25) уравнение (12.24) преобразуется
следующим образом:
иХх + кц?{х)и = 0, (12.26)
где A,-q = w2/t;|. Плавность неоднородностей среды предполагает, что на
длине волны Л = 2тг/кое(х) величина е(х) практически не меняется
(\d,?(x)/dx е(ж)). Уравнение (12.26) аналогично уже исследо-
ванным уравнениям (12.1) или (12.22) с той лишь разницей, что здесь
происходит изменение амплитуды вдоль координаты, а не во времени,
X
как в (12.1) и (12.22). Делая замену и(х) = exp J ydx. снова получаем
о
уравнение Рикатти у2 + у1 + к^е(х) = 0, где ко - большой параметр.
Отыскивая решение в виде у(х) = коуо(х) + у\{х) + (1/&о)?/2 (ж) + ...,
для нулевого и первого приближений будем иметь соответственно уо = =
±гл/е(х), 2/i = \А(Ж))- Теперь оба знака в у0 имеют ясный
физический смысл: они соответствуют прямой и встречной волнам. Решение
уравнения (12.26) также имеет вид ВКБ-решения:
и(х) = exp iko j \fe dx^j + •-= exp^ik0 J \fe dxj , (12.27)
которое соответствует так называемому приближению геометрической оптики.
Здесь А и В - постоянные, т. е. в рассматриваемом приближении, несмотря
на неоднородность среды, рассеяния и преобразования волн друг в друга не
происходит. Если, например, встречной волны не было, то она и не
появится, а если была, то ее амплитуда не изменится, поскольку встречные
волны независимы -- волна, распространяясь, деформируется, но не
взаимодействует со встречной. Это происходит из-за того, что е(х)
изменяется плавно, и отраженная волна экспоненциально мала.
Следует заметить, что к уравнению типа (12.26) приводят многие физические
задачи. Перечислим несколько из них. относящихся к СВЧ-электронике.
При анализе неустойчивости электронного потока, дрейфующего в скрещенных
электростатическом и магнитостатическом полях, обычно используется
модель, в которой электроны без высокочастотных возмущений при любой
плотности потока движутся прямолинейно с
12.3. Распространение волн в неоднородных средах 249
поперечным градиентом скорости dve/dy = ш2/шс = шсг2, и)р и ujc -
плазменная и циклотронная частоты.
Для анализа высокочастотных волновых процессов в такой модели
предполагается, что все переменные изменяются во времени и в направлении
