Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
основе которой лежит значение решения при /х = 0: x(t) - x0(t) = =
vlcos(w0i + <?). При 0 < /х <С 1 решение уравнения (11.8) будем искать в
виде
x(t) = x0(t) + /xW(1)(t) + t?W{2){t) + ... + nnW{n) (f). (11.9)
Решение в виде (11.9) имеет смысл лишь в случае, когда поправки к
нулевому приближению Хо(t) не нарастают со временем. Подставим (11.9) в
(11.8) и сгруппируем члены при одинаковых степенях ц. что дает нам для (1
^ г ^ п) уравнение
xQ + ujqX + ii\W^{t) + cjqW^(t) - xoojgb coswpt] +
+ /x2 [W^ (t) + uiq W^ (t) - (t)ujg b cos ujpt] + ...
... + nn[W{n){t) + wgW(n)(t) - W(n_1)(t)wg&coswpt] = 0. (11.10)
Все слагаемые в (11.10) имеют разный порядок величины и скомпенсировать
друг друга не могут, поэтому для выполнения тождества каждая из скобок
должна равняться нулю. Таким образом, мы получили рекуррентную систему
уравнений для нахождения г-го приближения. Как видно из (11.10), каждое
из уравнений представляет собой уравнение гармонического осциллятора, на
который действует внешняя сила в виде набора гармоник. Например, для
поправки первого приближения
ЙИ1^) + w^W^it) = ш^АЬ cos(w0? + <р) cosojpt
или
Ww(t)+u>lW{1))(t) =
= (ojq-46/2) {cos[(cjq - Mp)t + <?>] + cos[(cc?o + ^p)^ +
Вынуждающая сила в правой части этого выражения содержит всего две
гармонические составляющие - на частотах шо - <хр и и>о + азр. Чтобы
поправка не нарастала во времени, необходимо, чтобы эти гармоники были
нерезонансными с колебаниями на частоте wo, т. е. необходимо выполнение
неравенств uiq - шр ф uiq и ojp ф 2wo- Но ведь нас интересует именно
случай резонанса (вспомните качели!). При резонансе же растет
линейно во времени, и поэтому решение вида x(t) =
= Xo(t) + nW^lt) имеет смысл лишь на временах порядка нескольких
222
Глава 11
периодов. Как исправить решение, чтобы им можно было пользоваться и при
резонансе?
Обратим внимание на следующее обстоятельство: нарастающими оказываются
именно те слагаемые в поправке которые име-
ют вид главной части решения Хо(?) ~ A cos(wo? + ip). Действительно, в
резонансном случае швы" и ш0 и W^(t) ~ ?cos(w0? + ф). Но в решении x(t)
при W^(t) стоит малый параметр /х, т. е., несмотря на секулярный рост
локально во времени x(t) по-прежнему имеет
вид синусоиды с частотой wq, но на больших временах амплитуда и фаза
этого решения могут сколь угодно отличаться от их начальных значений. Это
подсказывает нам выход из положения, если амплитуду и фазу главной части
решения считать уже не постоянными величинами, а медленно изменяющимися
функциями времени, т. е. А = A(fxt), (р = (p(fit), такими, что их
изменение учитывают резонансные слагаемые в И^1^) (т. е. секулярная часть
суммируется на каждом
периоде с x0(t), то поправка будет иметь порядок едина очень больших
временах, поскольку в разности W^ - W^ резонансных составляющих уже нет
[20].
В подобном суммировании резонансных составляющих в разных порядках теории
возмущений с главной частью решения заключается основная идея большинства
методов малого параметра, в том числе и для нелинейных систем.
Вернемся теперь к нашей задаче и рассмотрим резонансный случай и>р = 2и>о
+ г,5. где ц5 = S' - малая расстройка. Решение уравнения (11.8), которое
с учетом выражения для и>р имеет вид
х + WqT = cos[(2uo + 5')t]x, (11.11)
будет таким:
x(t) - A(fit) cos[(w0+d'72)?] +
+ B(fit) sm[(w0 + S'/2)t] + (11.12)
где A(fit) и B(jit) - медленно изменяющиеся по сравнению с cos[...] и
sin[...] функции времени. В (11.12) не учтены слагаемые с частотами,
отличающимися от шо + 8'/2 на п(2и>о + S'), где п - целое число,
поскольку они имеют более высокий порядок малости по /х, чем нужно для
первого приближения. Вновь введенные функции A(fit) и B(/j,t) определим
как раз из условия ненарастания добавки W^. Подставляя (11.12)
11.2. Параметрический резонанс
223
в уравнение (11.11) и приравнивая коэффициенты при /г в первой степени
(считаем А ~ цА и В ~ цВ, получаем для уравнение
W{1) + a4w{1) = а;0[2А + 8* В - (^0/2)5] sin[(^0 + S'/2)t] +
+ u>o[-2В + $*.<4 + (/ifeu;o/2)-A] cos[(u>o *5*/2)?].
Пользуясь теперь свободой в выборе A(pit) и B(pit), потребуем, чтобы в
правой части этого уравнения резонансные слагаемые отсутствовали, т. е. А
и В определим равенствами
А = ~(ц/2)(6 - и0Ь/2)В, В = ~{ц/2)(6 + и0Ъ/2)А.
Это и есть искомые уравнения для медленно изменяющихся амплитуд.
Решение такой линейной системы уравнений, как и обычно, ищем в виде А, В
~ exp(At). Из условия нетривиальности решения получаем
характеристичесмкое уравнение для определения А:
А2 = -(м2/4)(^2 - Wq62/4). (11.13)
При достаточно малой расстройке (- ш0Ъ/2 < 5 < ш0Ь/2) амплитуды А и В
будут нарастать - в системе реализуется параметрическая неустойчивость.
Приведенные неравенства определяют зону основного резонанса, границы
которой изображены на рис. 11.2.
Если в системе есть потери порядка (и/, то основная зона неустойчивости
будет определяться неравенствами
- у^о&2/4 - 4^2 < 6 < ^/wq62/4 - Ар2,
где v - декремент затухания. Откуда следует, что при наличии диссипации
