Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
-) T ?t[iu,iCp(t)V]. (11.18)
Кажется естественным, не обращая внимания на то, что Ср есть функция
времени, ввести в (11.18) нормальные колебания, как это сделано в гл. 2.
Амплитуды таких колебании, как видно из структуры уравнения (11.18),
удобно определить соотношениями
а = {\/ь[/2){1 + iwiCnV), аГ = (у/Гф)Ц - iwiCuV)\ (11.19)
при этом очевидно, что а - а* = iu)iCn\/LiV. Кроме того, определим и)\\
u>i = 1/\[LiC\. Преобразуем, используя определение шi, первое слагаемое в
правой части уравнения (11.18) к виду - iw\CnV].
С учетом этого и (11.19) уравнения (11.18) можно записать следующим
11.2. Параметрический резонанс
227
образом:
(11.21)
(11.22)
Легко видеть, что при АС -> 0 (Ср -"¦ 0) уравнения (11.20) и (11.21)
соответствуют уравнениям нормальных колебаний осциллятора, которые, как
мы уже отмечали, можно представить двумя противоположно вращающимися
векторами. Когда ДС ф 0, колебания становятся параметрически связанными
(накачка связывает нормальные колебания). Как и в гл. 2, остановимся на
случае слабой связи, положив АС/(2Сц) С 1. При таком условии колебания
можно считать близкими к нормальным; кроме того, можно положить a(t) =
A(t) exp(zwil), где A(t) - медленно изменяющаяся по сравнению с exp(iwii)
функция, т. е. ^ С Ш\А. На каких частотах появятся
составляющие в правых частях уравнений (11.20) и (11.21) из-за того, что
Посмотрим это на примере; очевидно, что в правой части (11.20) появятся
слагаемые
Допуская, что добротность контура велика, можно пренебречь составляющими
(±3wi); кроме того, можно отбросить и слагаемое A(t) ехр[-i(LJit+ip)]
(подумайте сами, почему). Аналогичные слагаемые можно не учитывать и в
правой части уравнения (11.21). В результате получаем
Cp(t) = (AC/2){exp[i(2wii + ip)} + ехр[-г(2ш11 + 9?)]}?
J^~{A(t) ехр[г'(3сщ! + ip)} - A*(t) exp[j(wil + ip)\ +
+ A(t) exp[-i(ci)it + p>)\ - A*(t) exp[-l(3wit + <p)]}.
da/at = iuiia + Ci2 exp(2iwil)a*, da*/dt = -iuiia* + c21 exp(-2iu>\t)a,
(11.22)
где Ci2 = C21 = ш\(АС / 4Сц) exp(iip).
228
Глава 11
При выводе уравнения (11.22) учтено, что
^{А*(t) exp[i(uit + 9?)]} =
ИЛ*
= -jj- exp[i(u>i? + р)] + iuJiA*(t) exp[i(wi? + <p)] и
w iuiiA*(t) exp[i(u)it + p)\ = iwi exp(2iwit)a*,
поскольку dA*/dt <TL iuiiA* (аналогично ^(е"2гШ14а) и -iuJie^2lUlta).
Перейдем в уравнениях (11.22) к переменной A(t). Легко видеть, что da/dt
= (dA/dt + iu>iA) exp(iu>it)-. поэтому dA/dt = сцА*.
dA/dt = C21A, и мы получим ценой допущения АС "С Сц и пренебрежении
гармониками систему уравнений с постоянными коэффициентами. Если A(t) ~
exp(Af), то
A2 =lj\{AC/W11)2 или А = ±wi(AC/4Cn). (11.23)
Из (11.23) следует, что существуют нарастающие и затухающие колебания.
Легко видеть, что выражение (11.23) совпадает с полученным выше для
первого приближения при решении задачи методом возмущении, если в
последнем положить 8 = 0.
Если задать начальные значения а(0) и а*(0), то легко найти полное
решение задачи, что сделано в [5]. Главная особенность найденного решения
- сильная зависимость от сдвига фазы накачки р относительно фазы
изменения заряда на конденсаторе. Пусть, например, в начальный момент
времени t = 0 выполняются условия И(0) = Vm&x, 1(0) = 0. В этом случае
Ср(0) = ACcos<p (р - сдвиг фазы накачки относительно начального
напряжения на конденсаторе), причем если р = 7г/2, то Cp(t) = - AC
sin(2w1?), и, как показано в [5],
a(t) = (i/2)\/C^Vmaxexp[iLj1t + UT1(AC/4cC11)t}, а*(*) = -(*72)4/^11
^maXexp[-iwi? + са1(АС/4Cn)t],
Таким образом, при р = тт/2 имеет место параметрическая неустойчивость -
решение экспоненциально нарастает по времени. В то же время при <р = -
тт/2 решение экспоненциально затухает. Найдите сами, как нужно выбрать
сдвиг фазы накачки относительно фазы напряжения при произвольных
начальных условиях для получения нарастающего решения (заметим, что
удобно искать величину р - 2d, где д - arclgfi/Cii^(0)/^/L/l(0)} - фаза
колебания а).
11.3. Волны в периодических структурах
229
Мощность, связанная с колебаниями а и а,*, и мощность накачки
удовлетворяют соотношениям Мэнли-Роу (закон сохранения энергии для
колебательной системы вместе с источником накачки):
Это соотношение легко интерпретировать: мощность от источника накачки
распределяется между нормальными колебаниями а и а* поровну (нельзя
запасти мощность в одном колебании). Разумеется все сказанное справедливо
лишь при частоте накачки = 2o>i.
Для модели нелинейной емкости, которая связана с эквивалентной внешней
цепью, содержащей генераторы с частотами из\, ui2, lji +W2, u>i - и>2,
. ,mu)i + пи>2 (m и п - целые числа, u>i и ш2 -
несоизмеримые частоты), активные проводимости и идеальные фильтры
(фильтры имеют нулевое сопротивление на частоте генератора и бесконечное
- на всех других), соотношения Мэнли-Роу [6] имеют вид
ОО ОО JT) ОО ОС Г)
2-/ muji + пш2 ~~ ' 2-1 2-/ muii + nui2 ~ '
т=Оп= - ос т~ - оо п-О
где Рт," = Р-т-п - средняя мощность, поступающая в нелинейную емкость на
частотах ±\muii+nui2\. Хотя общее рассмотрение проведено для нелинейной,
