Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 825

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 819 820 821 822 823 824 < 825 > 826 827 828 829 830 831 .. 942 >> Следующая

равна 2hu)o, а "сигнальное" колебание имеет собственную частоту
осциллятора ш0, т. е. энергия одного кванта накачки равна энергии двух
квантов сигнала осциллятора (2fko0 = Ни0 4- Гш>о). Иными словами,
происходит распад одного кванта накачки на два кванта сигнала, за счет
чего и растет полная энергия колебаний на частоте и о-Легко убедиться,
что если система разбивается на п нормальных осцилляторов, то она должна
иметь п независимых адиабатических инвариантов.
Рассмотрим еще один общий способ получения адиабатического инварианта,
основанный на применении приближенного прямого вариационного метода [5],
близкого к известному методу Уизема [6]. Будем считать, что (12.1)
является уравнением Эйлера вариационной задачи,
т. е. является условием стационарности некоторого функционала I. По-
ь
скольку, как известно, для I = J F(x, у, у') dx уравнение Эйлера имеет
а
вид Fy(x, у, у') - Vi у') = 0 [7], соответствующий (12.1)
функ-
ционал запишется следующим образом:
t
/=У ^(х2 - u>qX2) dt. (12-8)
о
Читателю предоставляется возможность самому проверить справедливость
(12.8). Предположим далее, что
x(t) = X(t)T[tt(t)], (12.9)
где X(t) и il(t) - медленно изменяющиеся функции времени, а Т[0(?)] -
периодическая функция такая, что
Г(П + 2тг) =Г(П), (12.10)
2тг
(Т)а = ~ / Г(П) dtt = 0, (12.11)
О
(Т2)п = 1. (12.12)
Условия (12.10) и (12.12) не снижают общности решения, как может
показаться, поскольку X и П еще не определены; в то же время уело-
244
Глава 12
вие (12.11) определяет характер решения. Используя (12.9) для нахождения
х, можно написать выражение для усредненного функционала (12.8):
ln = lJ[{xV}a + (2XM(T §)) +
О
+(x2(I)^b<"2*"2i-2>.
dt.
Q
Учитывая медленность изменения X, Т и и>о во времени, можно показать, что
(Х2Т2)п " X2 (с учетом (12.12)), {2XX(l{TdT/dfi)) и О
(согласно (12.11)), (^X2(dT/d$l)2Cl2'j яа аХ2Г22, где
2тг
Q = ir /(dTldn)2 ~ш0 (х2т2)п ~ -^о^2
о
(в соответствии с (12.12)). Тогда получим новый функционал:
t
I " (До * | /[^2 + (""2 - -о2)^2] Л,
О
в котором появилась еще одна зависимая переменная О. Вспомним, что ь
если J = J F(x, у. у', z, 2:') da:, то условия стационарности [7] следую-
а
щие:
HF_AdF=n dF_Ad?= о
Эу dx ду' ' dz dz dz'
Варьируя J, получим два уравнения Эйлера:
SXX (аП2-ljI') - X = 0, (12.13)
6П-+-^аХ2П = 0. (12.14)
Пробную функцию для Т разумно (см. (12.1)) выбрать в виде
Т = Ti sin[fi(?)], где 2\ = const. Тогда а = Т2/2, и, полагая
Xi = %/2,
имеем
Т = у/2sinfi, а = 1. (12.15)
12.2. Эквивалентность ротатора осциллятору
245
В силу того что X - медленно изменяющаяся функция времени, из уравнения
(12.13) следует Х(а$12 - шо) ~ 0, и с учетом (12.15) имеем
Итак, мы вновь получили известный адиабатический инвариант, а решение
(12.9) имеет вид
Данный прямой вариационный метод интересен тем, что он может
использоваться и для решения задач линейной и нелинейной теории волн [5].
12.2. Эквивалентность ротатора осциллятору
В качестве примера ротатора рассмотрим электрон, который движется в
однородном постоянном магнитном поле. При произвольных начальных условиях
электрон будет двигаться по винтовой линии с осью вдоль магнитного поля.
Нам сейчас интересен частный случай, когда начальная скорость электрона
не имеет составляющей по полю и он вращается по окружности в плоскости,
перпендикулярной полю, с циклотронной частотой ш = (е/т)В. Пусть теперь
магнитное поле B{t), направленное вдоль оси z, медленно изменяется за
циклотронный период Т = 2n/ui. Переменное магнитное поле индуцирует
электрическое поле Е = - [zor](dB/dt)/2 (формула написана в системе
единиц, где скорость света с = 1, z0 - единичный вектор в направлении z).
Уравнение движения г = (e/m)([rB] + Е) с учетом выражений для шиЕ имеет
вид
(12.16)
о
Из уравнения (12.14) находим
Х2й = X2cj0{t) - const.
(12.17)
246
Глава 12
В проекциях на оси х и у вместо (12.18) получаем систему уравнений
четвертого порядка:
х - ui(t)y - uj{t)y/2 = 0, (12.19)
у + ta(t)x + tb(t)x/2 = 0. (12.20)
В этой системе, казалось бы, должно быть два независимых адиабатических
инварианта. Покажем, что в действительности эта система-ротатор
эквивалентна осциллятору и имеет только один инвариант. Умножим уравнение
(12.20) на i и сложим его с (12.19); вводя новую комплексную переменную ?
= х + iy, вместо (12.19) и (12.20) получаем одно комплексное уравнение
? + (i/2)w{t)? = 0. (12.21)
Сделаем теперь в (12.21) замену:
С
? = иехр|^- ^ j w(r)(irj =кехр$,
что дает ? = (й - ши/2) ехр ё и ? = [й - гшй - (1/4)ш2и - (1/2)iwu] exp
ё. Используя эти выражения в (12.21), приходим к уравнению гармонического
осциллятора, собственная частота которого равна ларморовой частоте
u + w2(t)u = 0. (12.22)
Уравнение (12.22) отличается от (12.1), решение которого мы нашли, только
тем, что теперь и - комплексная величина, но, поскольку для Re и и 1ти
получаются одинаковые независимые уравнения, ни
А Г * 1
к чему новому это не приведет. Итак, u(t) - exp i f oj(t)dt
Предыдущая << 1 .. 819 820 821 822 823 824 < 825 > 826 827 828 829 830 831 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed