Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
приложениях.
В качестве основной модели возьмем осциллятор с медленно изменяющейся
частотой. Его уравнение имеет вид
X + Wg (t)x = 0. (12.1)
Здесь характерное время Т изменения параметра (частоты шо) велико: Т 2>
27г/о;о. Введем медленное время т = t/T. Тогда уравнение (12.1) можно
переписать следующим образом:
х" + Т2ш1{т)х = 0
(штрихами здесь и далее обозначено дифференцирование по медленному
времени). Сделаем замену переменных:
Г
х(т) = exp j у dr. (12.2)
о
Очевидно, что х'(т) = ху, х"(т) = ху2 + хупоэтому вместо
(12.1)
получим уравнение х[у2 +у' + T2Wq(t)] = 0, которое при х ф 0
совпадает
с известным уравнением Рикатти
у2 + у> + Т2ш2(т) =0.
(12.3)
12.1. Приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна 241
Таким образом, вместо линейного уравнения второго порядка (уравнение
(12.1)) мы получили уравнение первого порядка, но нелинейное. Однако в
данном случае оно оказывается проще для исследования.
Учитывая медленность изменения параметра, будем искать приближенное
решение уравнения (12.3) в виде асимптотического разложения
у = Туо + ух + Т 1 у2 + ¦ ¦ ¦ + Т *¦" ^уп + ... , (12.4)
где малым параметром служит (1/Т).1 Подставляя (12.4) в (12.3), получаем
Т2Уо + 2Tyo2/i +2/i+ Ту'0 + у'х + T2Wq(t) + ... = 0.
Разделение слагаемых по порядку малости дает
2/о = ±*и>о(т), 2/1 = -2/0/22/0 = -(l/2)(lnw0)'. (12.5)
Мы ограничиваемся двумя первыми членами разложения в (12.4). В этом
приближении, используя (12.5), из соотношения (12.2) находим, что
х(т) = exp J(Туо + 2/i) dr =
А ехр
-(1/2) 1пш0(т) + гТ ju)0(T)d,T
+ к. с.,
где А - - постоянная, к. с. - комплексно-сопряженное слагаемое,
соответствующее второму знаку (минусу) в 2/о-
Окончательно приближенное решение запишется в виде
х(т) = (A/^u;o(T))eie + к. с., (12.6)
Т
где д = Т j ш0(т)с1т - полная фаза. Таким образом, решение соответ-о
ствует осцилляциям с изменяющимися амплитудой и частотой. Самый
существенный результат состоит в том, что амплитуда этих колебаний
убывает или возрастает медленно - адиабатически, поскольку медленно
изменяется ш0. Решение (12.6) называется приближением Вентцеля-Крамерса-
Бриллюэна (ВКБ) [2, 12]. Впервые оно было получено при решении уравнения
Шредингера для волн, распространяющихся в слабо неоднородной среде.
1 Различные асимптотические методы решения уравнений с переменными
коэффициентами, содержащими большой или малый параметр, изложены в [1].
242
Глава 12
Всегда ли полученное решение справедливо? Очевидно, оно становится
неверным при очень малых ищ (w0 и 0), но не потому, что амплитуда в
(12.6) стремится к бесконечности, а потому, что вся теория справедлива
при Т > 27г/о;о, и при wo ~ 0 неизвестно, какие Т выбирать. Второй
вопрос: насколько близко найденное решение к точному? Если бы ряд (12.4)
сходился равномерно, то вопроса о точности не возникало бы. Но
равномерной сходимости обычно не бывает - с увеличением числа слагаемых в
разложении точность не обязательно повышается. Впрочем, для нас это
желательно, но не необходимо. Чтобы иметь право пользоваться приближенным
решением, необходима лишь его асимптотическая сходимость, т. е.
приближенное решение должно переходить в точное при стремлении к нулю
малого параметра 1/Т (Т -)¦ ос).
Попытаемся разобраться в физическом смысле полученного решения. Для этого
вычислим энергию нашего осциллятора с медленно изменяющейся частотой. Как
известно, Ж = (ж2 + и>ох2)/2. У нас x(t) = [Af^u0(t)} cos$, где d-d/dt =
u>o(t), и x(t) к A^/wo(t) sin$ (член, содержащий wo(l), очень мал, и мы
им пренебрегаем). Таким образом, Ж - A2u>o(t)/2, где А = const, или
Ж/шоЦ) = const, (12-7)
т. е. отношение энергии, запасенной осциллятором, к его частоте при
медленном изменении параметров сохраняется во времени. Величины,
сохраняющиеся при медленном изменении параметров динамической системы,
называют адиабатическими инвариантами [3, 4].
Из (12.7) следует очень важный вывод: в медленно изменяющемся поле можно
существенно изменить, в том числе и увеличить, энергию осциллятора, т. е.
можно использовать такой осциллятор для усиления. Понять, почему
сохраняется именно величина Ж/woit)., нам поможет квантовая аналогия, т.
е. описание осциллятора на языке квазичастиц. Энергия осциллятора - это Ж
= hui0N, где hu)o - энергия элементарного колебания кванта или
квазичастицы, а N - число квазичастиц или число квантов. При медленном
изменении параметра число квантов, очевидно, измениться не может - они не
сливаются, т. с. число квантов является адиабатическим инвариантом.
Полная же энергия осциллятора изменяется за счет изменения энергии самих
квантов - квазичастиц. Таким образом, смысл адиабатического инварианта
(12.7) довольно прозрачен.
При резонансном параметрическом усилении картина иная: энергия
колебательной системы растет именно за счет увеличения числа
12.1. Приближение Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна
243
квантов, энергия же каждого кванта не изменяется. Вспомним, например, что
для основного резонанса энергия одного кванта накачки приблизительно
