Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
место пересечение границ областей, т.е. зоны непропускания изменяются.
Заметим, что часто, говоря о полосах непропускания, их появление
интепрети-руют как результат существования распределенной обратной связи,
которая возникает при распространении волны из-за следующих одно за
другим отражений от элементов периодической структуры. Чаще, чем
диаграмма зон Матье, в теории периодических структур используется
связанная с ней диаграмма Бриллюэна, которая является гра-
232
Глава 11
Рис. 11.5. Диаграммы устойчивости для уравнений (11.26) (а) и (11.25)
(б), взятые из [8]. Области неустойчивости выделены точками
фическим изображением дисперсионного уравнения. Поясним эту диаграмму на
примере безграничной среды со слабой периодической неоднородностью. Если
волна распространяется в однородной линейной среде, тош = ±г>ок (рис.
11.6 а). Когда в среду вносится слабая (бесконечно малая) периодическая
неоднородность, то возникают пространственные гармоники - волны с законом
дисперсии кп = ±гок + пК (п = 0, ±1, ±2, ...). При бесконечно малом
возмущении гармоники не взаимодействуют между собой (рис. 11.6 б). С
ростом возмущения в точках пересечения дисперсионных характеристик рис.
11.66 возникает сильная связь между гармониками (рис. 11.6 е), и в
результате появляется полоса непропускания - на границах этой полосы
взаимодействующие гармоники имеют разные по знаку групповые скорости (см.
гл. 8). На рис. 11.6 г показана зависимость ui = v0ko + (цс\/4со)уока для
дисперсионного уравнения (11.24), которая иллюстрирует детали образования
области непропускания. Области на сдА;-плоскости соответствующие
действительным ш и к, т. е. области пропускания, называются зонами
Бриллюэна. Читателю предлагается самому разобраться в том, как конкретно
связаны диаграммы устойчивости (зоны Матье) и диаграммы Бриллюэна [1. 7].
Среди проблем, сводящихся к уравнению типа (11.25), упомянем еще движение
электрона в поле ионной решетки в кристалле. Волны электронной плотности
описываются уравнением Шредингера с периодическим потенциалом:
(?/2т)У2Ф + [?'-У(г)]Ф =0, (11.27)
где Е - полная энергия, V(r) - потенциальная энергия, являющая-
11.3. Волны в периодических структурах
233
k
k
а)
Re
б)
Ас
Я\! 2 k0
k
в)
Рис. 11.6. К объяснению построения диаграммы Бриллюэна для периодически
возмущенной безграничной среды: а - - для однородной среды; б - для среды
с бесконечно малой периодической неоднородностью, приводящей к появлению
невзаимодействующих пространственных гармоник; в - случай конечного
возмущения (жирные линии) - гармоники сильно связаны; г - появление
полосы непропускания для системы, описываемой уравнением ш = = voko ±
(pci/4co)voko
ся периодической функцией координат (периоды rfi, Дг, d% изменения вдоль
каждой координаты определяются структурой кристалла [1 § 40]). Для
уравнений типа (11.27). как уже говорилось, существует аналог теоремы
Флоке - теорема Блоха, в соответствии с которой искать решение (11.27)
следует в виде Ф(г) = А (г) ехр(Аг) + В(г) ехр(-Аг), где А (г) и В (г) -
периодические с периодами А\. Д2 и функции координат. Методы исследования
уравнения (11.27), по существу, совпадают с рассмотренными выше.
Заметим, что круг задач, приводящих к анализу волн в периодических
структурах, необычайно широк; в частности, интерес к таким исследованиям
во многом связан с технологическими достижениями. В качестве примера
укажем на создание новых типов замедляющих систем для электронных СВЧ-
приборов [9], периодически нагруженных
234
Глава 11
антенн бегущей волны [10], преобразователей и фильтров объемных и
поверхностных акустических волн [11, 12]. Анализ периодических структур
интересен и для биологии, главным образом в связи с процессами в сложных
глазах насекомых (многослойная роговая оболочка слепня; зрительная
палочка глаза бабочки "ореховки", которая состоит из периодических дисков
в волноводе; часть зрительной палочки глаза толстоголовки - круглый
волновод с гофрированной поверхностью) [8]. Много интересных примеров
волн в пассивных и активных периодических структурах можно найти в [8].
11.4. Движение в быстро осциллирующем поле. Маятник Капицы. Лазеры на
свободных электронах
До сих пор, изучая поведение систем с изменяющимися параметрами, мы
ограничивались так называемой "резонансной параметрикой", т. е.
специфическим случаем, когда частота изменения параметра системы того же
порядка, что и ее собственная частота (и>р и 2шо/п, п - малые числа). Мы
видели, что при этом возможна экспоненциальная неустойчивость. Что будет,
если параметр изменяется очень быстро по сравнению с собственной частотой
системы шр ш0?
Рассмотрим нелинейный осциллятор, на который действует зависящая от х
периодическая сила:
х + f(x) = F(x) cos Sit. (11.28)
Здесь О " 1/Т, где Т = 2тг/и)0 характерный период движения по траектории
автономной системы. Будем искать решение уравнения (11.28) в виде суммы
медленной и быстро осциллирующей частей X(t) + nx(t), где X(t) и у(?)
