Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
даже при точном резонансе (S = 0) для возникновения неустойчивости
необходима конечная глубина модуляции параметра, пороговое значение
которой b = 4vju)0 (рис. 11.3а).
Нетрудно определить границы основной зоны неустойчивости и с более
высокой точностью - до величин порядка /г. Главную часть решения (11.1) в
этом случае естественно искать в виде
x(t) = A cos[(w0 + S'/2)t] + В sin[(oj0 + S'/2)t] +
+ iiA\ cos[3(w0 + S'/2)t] + piBi sin[3(<*>o + S'/2)t}.
Поскольку на границе зоны неустойчивости А = В = А\ = В\ = 0, после
подстановки x(t) в таком виде в (11.1) с точностью до слагаемых порядка
/г находим границы области неустойчивости:
J = ±шоб/2 •- /у.оэоЬ2/32.
224
Глава 11
Предоставляем читателю самому вывести (11.13), обращаясь при затруднениях
к [4, задача 1, с. 107].
Нетрудно сообразить, что параметрический резонанс должен иметь место при
любом шр к, 2ш0/п, где п - целое число; в том числе и при п - 2.
Качественно это ясно: чтобы раскачать качели, можно толкать их и один раз
за период, но для получения прежнего результата
Рис. 11.2. Границы зоны параметрической неустойчивости, соответствующей
основному резонансу (заштрихована): 1 - pb/4 = 1 - 2u>o/wp, 2 - pb/4 =
2ш//шо - 1. При построении использовано соотношение шо/шр = и>о/(2шо + 4)
и 1/2 - 4(4шо) при S ~ /г.
Поясним, как найти решение уравнения (11.11) в случае, когда шр = шо +
цб. т. е. во второй зоне параметрического резонанса. Решение представим в
виде
x(t) = A(fj.t) cos[(wo + 5')t\ + B(pt) sin[(w0 + 4')?] +
+ + ii2W{2\t).
Чтобы была возможность изымать резонансные слагаемые из правых частей
уравнений разных приближений (т. е. из уравнения для и из уравнения для
W^), производные АмВ разобьем на два слагаемых:
А = fj,Fi(A, В) + fx2F2(A, В), В = fj,<pi(A, В) + fi2tfi2(A. В),
где Fi и ip 1 определим из условия ненарастания W^^t), a F2 и р>2 - из
условия ненарастания W^(t) [20]. Повторяя операции, проделанные выше (с
точностью до замены А и В на F\ и ipi). нетрудно убедиться, что в первом
приближении по ц параметрической неустойчивости нет. Вычисляя далее
вынужденное решение на частоте 2шо и подставляя его вместе с и (рг в
правую часть уравнения для W^2K которое получается из (11.10), имеем
толкать надо сильнее.
W{2) + ш1\У(2) = (2ш0Р2 + 52В) sinшр1 +
+ (-2шо?>2 + S2A) cosшр1 + (2Шр1)ш^Ь cos upt. (11-14)
11.2. Параметрический резонанс
225
Здесь W^(2upt) - вынужденное решение уравнения для на частоте второй
гармоники. Вычислив эту величину и определив (из условия отсутствия в
правой части (11.14) слагаемых с частотой и>о) F2 и получим искомые
уравнения для A(t) и B(t). Предоставляем читателю проделать этот путь
самостоятельно. Ниже приведены только уравнения границ второй зоны
неустойчивости в частном случае А = = 5 = 0:
- 5//62о>о/24 < 5 < piFoj0/24
[4, задача 2, с. 108]. Видно, что спектральная ширина второй зоны
параметрической неустойчивости на порядок уже первой (<5 ~ /х). С ростом
п зоны параметрических резонансов сужаются как цп (рис. 11.36).
Соответственно уменьшаются и инкременты неустойчивостей в этих зонах.
а) б)
Рис. 11.3. Поведение областей неустойчивости, описываемое
асимптотическими решениями уравнения Матье: а - появление порога
возбуждения параметрических колебании, возникших в результате затухания:
б - сужение областей неустойчивости с ростом номера зоны
При большой глубине модуляции параметра правая часть уравнения х + ШдХ =
xuigb cos u>pt; уже не является малой и асимптотический метод решения
неприменим. В этом случае приходится пользоваться таблицами или решать
уравнение Матье численно.
В этом разделе мы обобщим теорию связанных колебаний, кратко изложенную в
гл. 2, на случай, когда параметр связи изменяется во времени
(параметрическая связь). Подобно тому как два разночастотных колебания
смешиваются на нелинейном элементе, смешение частот происходит и при
изменении какого-либо параметра системы во времени.
Проведем эго обобщение [5] на примере параметрической колебательной
системы с постоянной емкостью, включенной параллельно
226
Глава 11
lit)
U zb С
М.
C(t)
Рис. 11.4. Схема вырожденной двухчастотной системы
емкости C(t). Такая система называется вырожденной двухчастотной; она
изображена на рис. 11.4. Заряд на параллельно включенных конденсаторах Ci
и C(t) определяется соотношением q = [Ci + C(t)]V. Поэтому уравнение для
тока, протекающего через катушку индуктивности, имеет вид
I {[C1+C(t)]V} = I,
(11.15)
а для напряжения на катушке индуктивности имеет место уравнение dl/dt =
V/Lx. Считаем, что
C(t) - Со + Cp{t) - Со[1 + (ДС/Со) cos(2u>i + <р)],
(11.16)
- [ii(Ci + Со)] 1/2, 2шх -
частота накачки, <р - фаза накач-
ки, определяющая сдвиг фазы накачки относительно фазы изменения заряда на
конденсаторе. Перепишем (11.15) в виде
dV
dt
I
Си
А
dt
CP(t)] С
11
(11.17)
где Си = Co + Ci. Умножим (11.17) на Дг'шхСц и сложим получившееся
уравнение с (11.15). Тогда получим
^(JiiWiCuV) =
iwi =F I +
iu>iL
