Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 827

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 821 822 823 824 825 826 < 827 > 828 829 830 831 832 833 .. 942 >> Следующая

распространения волны (вдоль координаты х) по закону exp(iuit - ikx).
Тогда для зависимой переменной F, связанной с ^-компонентой скорости
формулой F(y) - (vy/ve(y))y/l - s2(y). уравнение имеет вид
d2F/ds2 - r4Q(s)F = О,
где Q{s) = 1 + 2г2/(а2 - 1) + 3r4/(s2 - I)2, s = -wj1(w - kve(y)) (вместо
безразмерной координаты). Решение этой задачи и нахождение поправок к
ВКБ-приближению обсуждаются, например, в [9].
В СВЧ-электронике решение (12.26) используется также в теории
распространения волн пространственного заряда в ускоренном электронном
потоке [10].
Ввиду важности приближения геометрической оптики для решения многих
физических задач остановимся на основных вопросах теории распространения
волн в среде, свойства которой достаточно медленно изменяются вдоль
направления распространения, следуя традиционной форме изложения1. Это
позволит и более глубоко понять физический смысл приближения.
Предположим, что амплитуда и направление распространения волны изменяются
сильно лишь на расстояниях L, много больших длины волны Л. В этом случае
можно разбить все пространство на участки I L (Л 4? /), на которых волну
можно считать плоской2, а среду - однородной. В результате такого
разбиения выделяем поверхности (волновые поверхности), на которых фаза
волны в данный момент времени постоянна, и определяем направление
распространения волны в каждой точке как направление нормали к волновой
поверхности в этой точке. Обычно вводят также понятие луча - линии,
касательная к которой 7в каждой точке совпадает с направлением
распространения волны в этой точке (определение справедливо для
изотропных сред, рассмотрением которых ограничимся). Последнее позволяет
свести задачу о распространении волн к задаче о распространении лучей и
перейти к
Систематическому изложению метода геометрической оптики применительно к
анализу волновых процессов в неоднородных средах посвящена книга [8], а
также гл. VII в учебном пособии [17]. Для изучения метода полезны
монографии [13-16, 18].
2Напомним, что направление плоской волны постоянно и совпадает с нормалью
к плоскости равных фаз; в случае однородной волны плоскости равных фаз и
плос-
кости равных амплитуд параллельны.
250
Глава 12
приближению геометрической оптики. Таким образом, геометрическая оптика
отвлекается от волновой природы лучей, что накладывает следующее
ограничение на размеры выделенных выше участков однородности:
Б"/" Л. (12.28)
Выведем основное уравнение геометрической оптики, которое называется
уравнением эйконала.
Пусть поле монохроматической волны описывается функцией
/(У t) = f0(r) exp{i[ujt - /г0Ф(г)]}, (12.29)
где /о (г) и Ф(г) - действительные функции, г - радиус-вектор
текущей точки. В случае плоской волны функция /о (г) постоянна на
поверх-
ности фронта, который определяется уравнением Ф(г) = const. Будем
считать, что /о(г) и grad'E'(r) изменяются заметным образом на расстоянии
L Л, т. е.
| grad/о (г) | С k0f0(r), (12.30)
| grad$(r)| <§; &0Ф(г). (12.31)
Иными словами, будем предполагать, что свойства среды мало изменяются на
расстояниях порядка длины волны.
Подставим функцию (12.29) в уравнение (12.23), полагая далее А:2(г) =
fcgTi2(r), где п(г) - показатель преломления неоднордной среды. После
простых преобразований получим
V2/o/(A:o/o) - 2iV$V/o/(fc0/0) - гУ2Ф/&о - [(УФ)2 - fc2/fcg] = 0. (12.32)
Слагаемые, входящие в уравнение (12.32), имеют разный порядок малости.
Если исходить из того, что /о и УФ изменяются на расстоянии
порядка L, то
У2/о/(^о/о) ~ А2/Б2, 2гЛ7ФУ/о/(А:о/о); *'У2Ф/А;о ~ A/L,
а последнее слагаемое от Х/L не зависит. Пренебрежем первым слагаемым в
уравнении (12.32) и приравняем нулю действительную и мнимую части
получившегося уравнения. Получим
(УФ)2 = k2/kl = n2(r), (12.33)
/0У2Ф + 2У ФУ/о = 0. (12.34)
12.3. Распространение волн в неоднородных средах
251
Уравнение (12.33) называется эйконалом, поскольку оно определяет фазу
(эйконал). Уравнение (12.34) связывает амплитуду и фазу волны и
называется уравнением переноса. Процесс распространения волны приближенно
описывается уравнениями (12.33) и (12.34) в том случае, когда
|V2/0| "*о|/оУ2Ф|, (12.35)
|V2/o| < 2fc0|V/oV4/|, (12.36)
т. е. когда отброшенное слагаемое меньше каждого из двух слагае-
мых следующего порядка малости, оставшихся в уравнении. Неравенства
(12.35) и (12.36) являются количественным критерием применимости
приближения геометрической оптики.
Более корректный способ получения уравнений типа (12.33) и (12.34)
состоит в пренебрежении малыми слагаемыми не в уравнении, а в решении, т.
е. это способ, близкий к использованному при получении уравнений (12.5).
Будем искать решение /(г) в виде ряда по степеням 1/fco:
/(г) = [/о (г) + fi(r)/k0 +f2(r)/k% + ...]ехр[-г7г0Ф(г)]. (12.37)
Подставляя разложение (12.37) в уравнение (12.23) и приравнивая члены
одного порядка малости, получаем следующие уравнения1:
[(УФ)2 - k2/k20}f0 = 0, (12.38)
/0У2Ф +2У/0УФ = 0, (12.39)
/1У2Ф + 2У/1УФ = гУ2/0- (12.40)
Предыдущая << 1 .. 821 822 823 824 825 826 < 827 > 828 829 830 831 832 833 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed