Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 820

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 814 815 816 817 818 819 < 820 > 821 822 823 824 825 826 .. 942 >> Следующая

а не для изменяющейся во времени емкости, можно показать [5], что эти
представления эквивалентны.
11.3. Волны в периодических структурах.
Зоны Матье и диаграммы Бриллюэна
При анализе волн в средах с периодически изменяющимися параметрами
воспользуемся уравнением (11.3). Мы уже говорили, что формальное отличие
(11.3) от уравнений (11.1) или (11.2) только в том, что переменная V есть
функция координат, а не времени. Однако физический смысл решения
уравнения (11.3) совсем иной, чем, скажем, уравнения (11.1).
Действительно, можно ли надеяться на усиление волны только из-за того,
что она распространяется в периодически неоднородной среде? Очевидно, нет
- неоткуда для такого усиления черпать энергию. Но, как следует из
формальной аналогии уравнений, решения тем не менее экспоненциально
нарастают с координатой:
V(х) = AieXx sin k0x + А2е~Хх cos k0x.
230
Глава 11
Что это значит? Дело в том, что наша среда допускает распространение волн
в двух противоположных направлениях - прямой и встречной волн.
Когда мы искали неустойчивость по времени, нам было интересно лишь
решение, соответствующее положительному характеристическому показателю Л
(т. е. пропорциональное exp(Ai)) (речь идет о значениях параметров,
лежащих внутри зон Матье). Теперь же необходимо выбрать нужное из двух
слагаемых решения. Здесь-то нам и поможет физическое соображение о том,
что в равновесной (хотя бы и неоднородной) среде и прямая, и встречная
волны одновременно нарастать не могут. Поэтому правильным будет только
если Ai = 0. При этом и прямая, и встречная волны экспоненциально спадают
вдоль направления х.
Таким образом, если волновое число волны оказывается внутри зоны
уравнения Матье, то волна оказывается нераспространяющейся т. е. это зоны
непрозрачности. Вне зон непрозрачности характеристический показатель А -
число мнимое, т. е. волна с соответствующим ко оказывается
распространяющейся (правда, пространственно модулированной).
Таким образом, волны в периодически неоднородных средах могут
распространяться только при определенных условиях. При к0 - ?i/2,
например, т. е. когда длина падающей волны Л0 в два раза больше
характерного масштаба неоднородности среды Лн - "длины волны решетки",
волна распространяться не будет (условие Ао = 2АН называют брэгговским
условием отражения от периодической структуры). Физическое объяснение
довольно просто: из-за резонансного (Ло = 2ЛН) отражения даже от малых
неоднородностей появляется встречная волна. Она, правда, слабая, но
благодаря резонансу эффект вдоль координаты х накапливается и возникает
стоячая волна, т. е. на определенной длине вся энергия падающей волны
будет уходить в отраженную. При условии Л0 = 2ЛН (или вблизи области
этого резонанса) прямая и встречная волны сильно связаны. Следующие зоны
непрозрачности соответствуют волнам, рассеивающимся на пространственных
гармониках неоднородности. Внутри этих зон к0 nqi/2.
Если глубина модуляции параметра, характеризующего периодическую среду,
не мала, то в общем случае волны в среде описываются уравнениями (см.
[8])
d24</dx2 + f(x)4< =0, (11.24)
ОО
f(x) = f(x + 2-к/К) = ^~2ап cos(пКх), (11.25)
п=О
11.3. Волны в периодических структурах
231
где ап -- коэффициенты Фурье разложения в ряд периодической функции f(x)
с периодом 2ж/К (Л = 2-к/К - период структуры). Решениями уравнения
(11.24) являются функции Хилла, частным случаем которых будут функции
Матье (когда отличны от нуля только ао и ai); заметим, что в (11.25)
функция f(x) может быть и нечетной. Решение уравнения (11.24) можно
искать в виде
Ф(х) = А(х) ехр(-ikx) + В(х) exp(ikx).
где А(х) и В(х) - периодические функции с периодом 2ж/К, а к (аналог Л) -
характеристический показатель, зависящий от коэффициентов ап. Разлагая
Л(х) и В(х) в ряды Фурье получаем
ОО
Ф = ^2 {Anexp[-i(k + пК)х] + Bnexp[i(k + пК)х]}.
п= - ОО
Каждое п соответствует пространственным гармоникам волны, а величины кп =
к + пК имеют смысл волновых чисел этих гармоник. Заметим, что
пространственные гармоники нельзя возбудить независимо. Подставляя это
решение в (11.24), можно получить дисперсионное уравнение для определения
к зависимости от коэффициентов ап [1,8]. Если в соотношении (11.25) ао Ф
0, ai ф 0, а все остальные ап = 0, то из (11.25) будем иметь
с/2Ф/dx2 = (ао + а\ cosKx)ty = 0, (11.26)
т.е. приходим к уравнению типа уравнения Матье, диаграмма устойчивости
которого приведена на рис. 11.5 а. На диаграмме выделены точками области
непропускания (области неустойчивости), в которых к = rnK/2 + ia (т = 0,
1, 2,...), a - действительная величина, тК/2 - значение |fc| на границах
областей. Постоянной глубине модуляции (a,i/K2 = const) и постоянной
частоте сигнала К = const при изменении аП/К2 на рис. 11.5 а
соответствует прямая, двигаясь вдоль которой будем последовательно
проходить зоны пропускания и непропускания. В том случае, когда все ап ф
0, диаграмма устойчивости несколько видоизменится (рис. 11.5 6): имеет
Предыдущая << 1 .. 814 815 816 817 818 819 < 820 > 821 822 823 824 825 826 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed