Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что если атмосферу сместить, то благодаря возвращающей
гравитационной силе возникнут ее колебания относительно Земли. Для
измерения параметров 7 и такого гло-
ХВ качестве генератора СВЧ-колебаний часто применяют отражательные
клистроны (рис. 1.11), в которых модуляция электронов по скорости и
передача энергии сгруппированным пучком электронов высокочастотному полю
осуществляется в одном резонаторе благодаря тому, что электроны
группируются в тормозящем статическом поле в пространстве резонатор-
отражатель (отражатель - электрод с потенциалом Уд на рис. 1.11) и
возвращаются в резонатор. Частоту колебаний можно плавно изменять, меняя
напряжение на отражателе. Сигнал от клистрона, поступающий в ячейку,
модулируется по частоте.
34
Глава 1
бального осциллятора достаточно найти р и в (см. рис. 1.9) при каком-
нибудь одном значении и>. Так и было сделано: измерили атмосферные
приливы и время их задержки, что позволило по одной известной точке
построить резонансную кривую р = р(и) (рис. 1.12). Непосредственно период
колебаний То атмосферы удалось измерить в 1883 г. при взрыве вулкана
Кракатау. Он оказался равным 10 ч 30 мин, в то время как период Т0,
соответствующий рис. 1.12, равен 10 ч 20 мин.
Зададимся теперь вопросом: какую работу совершает внешнее поле над
осциллятором? Работа, совершаемая силой F = i<o cosuit за время dt, равна
F dx, а мощность Р = Fdx/dt. Из уравнения (1.26) следует, что P(t) = Fx -
{x+u>oX + 2"fx)x. Если учесть, что х = pcos(u>t - в), х - = - /9uisin(uit
-в), а х = - рш2 cos(uit - в), то средняя за период Т = 27г/ш мощность
равна
т
(Pit)} = -f J i(x + uJqx)x + 2jx2] dt =
0
2?r
= ^ J 7p2uj2 [l - cos(2cat - 29)] d(wt) = 7p2ui2.
0
Таким образом, (P(t)) = 0 при 7 = 0. Казалось бы, странный результат?
Однако следует помнить, что это - мощность потерь в стационарном режиме,
т. е. когда осциллятор уже запас всю положенную ему энергию и внешняя
сила идет лишь на покрытие диссипативных расходов. В этом и объяснение
парадокса: при 7 = 0 внешняя сила вообще не совершает работы над
осциллятором.
Как поведет себя гармонический осциллятор под действием произвольной
непериодической внешней силы F(t), когда движение описывается уравнением
х + ui2x = F{t)l Воспользуемся для получения ответа методом
неопределенных коэффициентов (методом множителей Лагранжа), полагая x{t)
= A(t) cos cat + B{t) sinwE Тогда
x(t) = A(t) cosuit + B(t) sinut - A(t)u}sinwt + B(t)oj cosuit,
где A = dA/dt и В - dB/dt. Так как мы ввели две произвольные функции, а
уравнение всего одно, можно наложить на них произвольную связь. Из
соображений арифметического удобства потребуем выполнения равенства A(t)
cosuit + В sinuit = 0. Тогда, следовательно,
1.4. Нормальные колебания
35
Подставляя x(t) и u>2x(t) в исходное уравнение, окончательно по-
Разрешим это уравнение и уравнение связи как систему уравнений
Если, например, F(t) = Fq cos cat, как и в предыдущих задачах, то
нечность - секулярный рост. Очевидно, что если с ростом t коэффициенты
A(t) и B(t) остаются малыми, то резонанса не будет. Таким образом,
условие отсутствия резонанса можно записать в виде
Математически последнее соотношение означает, что функция F(t) не должна
содержать собственных функций нашей задачи. Если же F(t) =
= J2 FoiCosiOit (внешняя сила может быть представлена рядом Фурье)
г=1
и одна из u>i совпадает с собственной частотой ш осциллятора, то
возникает резонанс. Все составляющие других частот в этом случае будут
мало существенными.
1.4. Нормальные колебания.
Аналогия с квантовой механикой. Операторы рождения и уничтожения
Вновь рассмотрим гармонический осциллятор, но будем исходить из его
функции Гамильтона
лучаем
-A(t)ui sin cat -I- B(t)cj cos u>t = F(t).
относительно A(t) и B(t). Элементарные преобразования дают
о
о
^ I 1 4 4
B(t) = + Aj sin(2w?) и при t -> oo решение уходит в
беско-
т
о
ОС
^ р2 + ui2q2 Ж= g-----------------
(1.27)
где q и р - координата и импульс соответственно, а и - собственная
частота осциллятора. В гамильтоновой форме уравнения движения
36
Глава 1
осциллятора имеют вид
<"">
(1.29)
Умножим (1.28) на ±ш и сложим полученные выражения с (1.29). Тогда
приходим к уравнениям
^ = -iwa, (1.30)
^=ша*, (1.31)
где комплексно-сопряженные величины а и а* введены соотношениями
1
-(uq + ip), а* =-±=(wq - ip). (1.32)
v2u; у2а;
Решения уравнений (1.30) и (1.31) можно записать следующим образом:
a(t) = a(0)e~iwt = -^=[w9(0) + ip(0)}e-iut,
V2a;
o*(i) = a*(0)e'w< = -)=[wq(0) - ip(0)]eiwt.
\/2w
Уравнения (1.30) и (1.31) называются уравнениями нормальных колебаний,
a(t) и а*(?) часто называют просто нормальными колебаниями осциллятора
[9, 10].
Заметим (это понадобится нам в дальнейшем), что наглядно a(t)
и a*(t) могут быть представлены как вращающиеся в разные
стороны
векторы одинаковой длины.
Как видно из (1.32),
q= -J={a* +а), р = i^(a* - а),
следовательно, по определению (1.27) функция Гамильтона имеет вид
