Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
^_PP*+v2qq*___________________________________^ ооч
сft? - 2 - Ia)(t (I• (l.oo)
В квантовой механике для гамильтониана осциллятора имеет место, как
известно, соотношение
Ж = Нш(а+а+ |), (1.34)
1.4. Нормальные колебания
37
где h = h/(27г), а величины а = (1/\/Шш)(шц + ip) и а+ = (l/V2fko)x x(uiq
- гр) называют соответственно операторами уничтожения и рождения [11].
Добавочную по сравнению с классическим случаем энергию Juo/2 называют
нулевой энергией осциллятора. В классическом пределе, когда Ж /к*>/2, мы
будем не раз пользоваться выражением для числа квантов N = аа+ (из (1.34)
видно, что N - Ж/(Нш) - 1/2). В заключение остановимся на интерпретации
энергетического состоя-
- (п+1) квант
п квантов
- (п-1) квант
|й(У
Рис. 1.13. К интерпретации операторов рождения (а+) и уничтожения (о) и
оператора числа частиц N
ния осциллятора, которую предложил и обосновал Дирак [11]: гамильтониан
описывает систему из п тождественных невзаимодействующих квантов, которые
находятся в состояниях с энергией hu>. Мы уже говорили, что N
характеризует число частиц. Теперь это должно стать понятным; каждое из
собственных значений оператора N дает определенное число квантовых
частиц, например, фотонов или фононов, о которых пойдет речь в гл. 3.
В квантовом случае, если на осциллятор, находящийся в состоянии с п
квантами, подействовать оператором а+, он перейдет в состояние с (п + 1)
квантами. Отсюда название оператора а+ - оператор рождения. Если же на
осциллятор в состоянии с п квантами подействовать оператором а, то
произойдет переход в состояние с (гг - 1) квантами; поэтому а - оператор
уничтожения. Сказанное об операторах N, а+ и а иллюстрирует рис. 1.13.
ha)(n+7>)-Лсо(п+^-)-Псо{п-т>)-
\bco-
Um-
Глава 2
Колебания в системе двух связанных осцилляторов
2.1. Исходные уравнения
В предыдущей главе мы познакомились с явлением резонанса в его простейшей
форме - внешним резонансом в линейном осцилляторе. Если система не столь
проста, например, обладает несколькими степенями свободы, возможен другой
эффект, такой, как внутренний резонанс - резонанс между отдельными
подсистемами. Как мы увидим, в результате внутреннего резонанса отдельные
подсистемы (их называют парциальными) обмениваются энергией друг с
другом, т. е. это уже взаимодействие подсистем. Очевидно, что внешний
резонанс можно рассматривать как частный случай внутреннего, если энергию
одной из подсистем считать бесконечной. При этом будет уже не
взаимодействие, а просто воздействие одной подсистемы на другую.
Вообще в системах уже с двумя степенями свободы проявляются многие
эффекты, характерные и для более сложных систем. Поэтому данную главу мы
посвятим достаточно подробному анализу системы двух связанных
осцилляторов.
Воспользуемся обычно приводимыми простейшими примерами связанных
осцилляторов (рис. 2.1). Это, в частности, два математических маятника
длиной 1Х и 12 с одинаковыми массами грузов тх-гп2 = т, находящиеся в
поле тяготения. Маятники связаны невесомой пружиной с жесткостью к (рис.
2.1г). Движение такой консервативной системы с двумя степенями свободы в
линейном приближении описывают уравнения
dv 1 2 , к , \ dx1
-гг =-wxxi + Ш(Х2 - хг), - =ы,
т (2Л)
dv2 2 , к , \ dx2
-Ж = -и2Х2 + Ш(х1-Х2), ¦W=V2,
где 2 = g/h,2- Эти уравнения могут быть получены либо из выражения для
энергии системы, которое для малых отклонений маятников
2.1. Исходные уравнения
39
М____________
С|=р ~J~^2
а)
в)
С С 1>2
г)
Рис. 2.1. Простейшие примеры электрических и механических систем двух
связанных осцилляторов: а - инерциальная (индуктивная) связь; б -
смешанная связь; в - силовая (емкостная) связь; г - два связанных
маятника в поле тяготения
имеет вид
(первое слагаемое в Ж очевидно, а второе и третье - соответственно
потенциальная энергия грузов в поле тяжести и потенциальная энергия
упругости пружины - энергия связи), либо из физических соображений,
основанных на том, что ускорение маятника связано с существованием
возвращающих сил гравитационного поля (-muif 2x 1,2) и пружины (к(х2,1 -
xit2))- Обычно систему (2.1) переписывают в виде уравнений связанных
осцилляторов:
х1+ш1х1 = щ(х2-х1), Х2 + и%х2 = щ{х1-х2). (2.3)
Прежде чем переходить к анализу системы уравнений (2.3), приведем один
менее известный пример системы связанных осцилляторов. Этот пример связан
с задачей, часто встречающейся в вакуумной и квантовой СВЧ-электронике:
возбуждение резонансной колебательной системы заданными источниками,
характер которых определяется свойствами активной среды (электронный
поток, газовая смесь, парамагнитный кристалл и т.п.). Если резонатор
пустой ("холодный") и потерями можно пренебречь, то он ведет себя как
совокупность несвязанных осцилляторов - нормальных мод. Возмущение
комплексной диэлектрической проницаемости среды, которой заполнен
резонатор,
40
Глава 2
приводит к тому, что моды становятся связанными [1, 2]. Объясняется это
просто - все моды модулируют среду и таким образом через нее воздействует
