Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 756

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 750 751 752 753 754 755 < 756 > 757 758 759 760 761 762 .. 942 >> Следующая

друг на друга. Рассмотрим такую модель: резонатор заполнен
диэлектрической средой, комплексная диэлектрическая проницаемость е
которой под действием какого-либо возмущения изменилась согласно закону ё
= е + Se (такому изменению е соответствует возбуждающий ток с плотностью
j = iwSsE, Е - соленоидальная часть электрического поля). В монографии
[1] эта модель связывается с изменениями активной среды, находящейся в
открытом резонаторе квантового генератора, под действием поля накачки.
Тогда для коэффициентов разложения соленоидальной части возбужденного в
резонаторе электрического поля получаются уравнения
где индекс s соответствует s-й собственной моде, ksr - коэффициент связи,
определяемый возмущением диэлектрической проницаемос-
В частности, если предположить, что резонансными будут собственные
колебания с индексами s = 1 и s = 2, то из (2.4) получаем систему двух
уравнений
подобных (2.3).
2.2. Свободные колебания двух связанных осцилляторов
Изложим общую теорию малых колебаний двух связанных осцилляторов -
линейной консервативной системы с двумя степенями свободы [3], для
описания которой следует ввести две обобщенные координаты х и у.
Уравнения движения такой системы удобно записать в лагранжевой форме [4]:
(2.4)
Г
ти [1].
А-1 + Wj А\ + fci2 Аг - 0, А.Ч w^A.2 + fei-Ai - 0, (2.5)
(2.6)
где xi = х, Х2 = у, a Fi - обобщенные непотенциальные силы (для
консервативных систем - это внешние силы, действующие на систему).
2.2. Свободные колебания двух связанных осцилляторов
41
Для анализируемой системы функция Лагранжа имеет вид
% = T-V, (2.7)
где
Т = Ах2 + By2 + 2 Нху, V = ах2 + by2 + 2 hxy
суть кинетическая и потенциальная энергии системы, Н и h - коэффициенты
инерциальной и силовой связи.
Для автономной системы (-Рц2 = 0) уравнения (2.6) с учетом (2.7) можно
записать следующим образом:
Ах + ах + Ну + hy = 0, Нх + hx + By + by = 0. (2-8)
Ограничимся случаем, когда Т и V - положительно определенные квадратичные
формы (это не выполняется, например, для системы, изображенной на рис.
2.2а). Необходимым и достаточным условием положительной определенности
является выполнение неравенства А, В > 0; а, b > 0; АВ - Н2 > 0; ab-h2 >
0.
Рис. 2.2. Пример двух связанных маятников, для которых не выполняются
условия положительной определенности Т и V (а), и зависимость Д(ш2) при
условии положительной определенности Т и V (б)
Полагая, как обычно для линейных систем, что х, у = (X, Y)elut, после
подстановки в (2.8) находим
(-Аш2 + а)Х + (-Hlj2 + h)Y = 0,
(2 9)
(-Ни2 + h)X + (-Ви2 + b)Y = 0.
Для того чтобы система однородных уравнений (2.9) имела нетривиальное
решение, необходимо обращение в нуль ее детерминанта
-Аи2 + а -Ни2 + h -Ни2 + h -Ви2 + Ь '
Д(и;2) =
(2.10)
42
Глава 2
Из этого условия получаем следующее характеристическое уравнение для
определения нормальных (собственных) частот системы:
А(ш2) = lj4(AB - Я2) - и2(аВ + ЬА- 2Hh) + ab - h2 = 0.
Условия положительной определенности Т и V графически означают, что
всегда есть две точки пересечения параболы А(и>2) с осью абсцисс (рис.
2.2 б). Они соответствуют двум нормальным частотам системы и и>'2. Легко
убедиться, что путем линейного преобразования от координат х и у можно
перейти к новым координатам "1 и и2, называемым нормальными, в которых
система уравнений (2.8) запишется как уравнения двух независимых
осцилляторов:
йх + u)[ui = 0, и2 + u)'2U2 = 0. (2.11)
Таким образом, любую консервативную линейную систему с п степенями
свободы можно представить в виде набора п невзаимодействующих
осцилляторов. Это означает, что линейная консервативная система с
постоянными параметрами полностью характеризуется спектром нормальных
частот (разумеется, чтобы иметь решение, надо задать начальные условия).
Нормальные частоты, характеризующие связанные осцилляторы, разумно
сравнивать с парциальными частотами. Напомним, что парциальной системой,
соответствующей данной координате, является система, получаемая из
исходной "закреплением" всех остальных координат (на рис. 2.1 а положить
равным нулю ток в катушке и напряжение на конденсаторе в одном из
контуров, на рис. 2.1 е нужно закрепить один из маятников). Выбор
парциальной системы определяется выбором координат (и наоборот).
Уравнения для нахождения парциальных частот можно получить, например, из
(2.8), убрав из них слагаемые, выражающие связь между системами, т. е.
"занулив" коэффициенты связи (Н = = h = 0). Тогда Ах + ах - 0, By + by =
0, и парциальные частоты равны щ = у/а/А, п,2 = y/b/B. Каково соотношение
между парциальными и нормальными частотами? Из рис. 2.2 б ясно, что если
А(п\ 2) < 0, то частоты Пх и п2 лежат между ш'г и ш2. Для парциальных
частот
А(п2) =
0 -Нп2 + h -Нп2 + h 0
= -(Нп2 + h)2 < 0,
т. е. парциальные частоты всегда лежат между нормальными (wj ^ ^ Пх,2 ^
ы2).
2.2. Свободные колебания двух связанных осцилляторов
43
Итак, введение связи в консервативную систему может лишь увеличить
Предыдущая << 1 .. 750 751 752 753 754 755 < 756 > 757 758 759 760 761 762 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed