Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
системы уравнений (2.24), т. е. х, у = (X,Y)cosSlt. Подставляя его в
(2.24), получаем Х(-AQ2 + о) + Y(-Hfl2 + h) = F, X(-Hfl2 4- h) + Y(-Bfl2
+ b) = 0, откуда уравнения резонансных кривых X = X(fl) и Y = Y(fl) можно
представить в виде
X = -(-ВП2 + Ь), Y =-?-(-НП2+ h) (2.25)
А(П2У h А(П2У 1 V '
(Д - детерминант, см. (2.10)). Резонансные кривые свидетельствуют о
следующих интересных эффектах (рис. 2.6): 1) если частота внешней силы
совпадает с одной из сооственных нормальных частот системы, наступает
резонанс, и амплитуды колебаний в обоих осцилляторах неограниченно
растут; 2) если частота внешней силы, действующей на первый осциллятор,
совпадает с парциальной частотой второго осциллятора О. = п2, то первый
осциллятор не колеблется (X = 0): это явление называется динамическим
демпфированием; 3) при частоте внешней силы Hi = sJh/H второй осциллятор
не колеблется (Y = 0): это явление имеет место только в том случае, если
связь носит смешанный характер, т. е. есть как силовая (емкостная), так и
инерциальная (индуктивная) связь; при U = Hi происходит компенсация связи
и колебания одного осциллятора не передаются другому.
Рис. 2.6. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний X и Y от частоты
внешней силы (резонансные кривые)
50
Глава 2
Заметим, что динамическое демпфирование часто используется на практике
для гашения вредных колебаний [8]. Например, для уменьшения качки танкера
при волнении на море в его танки закачивают воду, уровень которой
подбирается таким образом, чтобы парциальная частота колебаний массы воды
в танках приближалась к частоте ударов волны о борт (рис. 2.6). Тогда сам
танкер качается существенно меньше.
Пусть теперь внешняя сила действует не на первый, а на второй осциллятор,
т. е. F\ - 0, a F2 = F cos fit. В этом случае, отыскивая, как и ранее,
вынужденное решение (2.24), получаем
x=A§rFHS,2+h)- у=дм(-^!+">' <2'26)
Из сравнения-(2.25) и (2.26) следует важный вывод: при воздействии на
один осциллятор внешней силы второй будет колебаться так же, как первый
при воздействии внешней силы на второй. Это - известная теорема
взаимности. Она справедлива для линейных систем с любым числом степеней
свободы, в том числе и для распределенных систем, а с соответствующими
изменениями в формулировке - и для сплошных сред. В электродинамике,
например, теорема взаимности широко используется в теории антенн. В
применении к идеализированным антеннам - элементарным колеблющимся
диполям - ее можно сформулировать следующим образом [7].
Пусть диполь с электрическим моментом pi, расположенный в точке 1,
возбуждает электромагнитное поле Ei, Hi, а диполь р2, находящийся в точке
2, - поле Е2, Н2. Тогда теорема взаимности выражается равенством
PiE2(1) = p2Ei(2), (2.27)
где Е2(1) - значение поля Е2 в точке нахождения диполя с электрическим
моментом pi; Ei(2) - значение поля Ei в точке 2, где расположен диполь с
электрическим моментом р2. При равенстве абсолютных значений дипольных
моментов диполь 2 воздействует на диполь 1 так же, как диполь 1 на диполь
2.
Если, например, pi соответствует передающей антенне, распополо-женной
вблизи земли, а нужно найти поле, создаваемое этим диполем высоко над
землей, в точке 2, где находится летательный аппарат с приемной антенной
на борту, то можно решить вспомогательную задачу, в которой передающая
антенна - диполь р2 - расположена в точке 2, а приемная антенна - в точке
1, и воспользоваться теоремой взаимности [7].
Глава 3 Колебания в ансамбле невзаимодействующих осцилляторов
3.1. Классическая теория дисперсии
Наиболее важны с точки зрения приложений два случая: почти тривиальный,
когда осцилляторы тождественны, и существенно более интересный, когда
осцилляторы имеют разброс по частотам или коэффициентам затухания.
Рассмотрение поведения ансамбля идентичных невзаимодействующих
осцилляторов составляет основное содержание классической теории дисперсии
света. Нетождественность же осцилляторов необходимо учитывать, например,
при анализе рассеяния электромагнитных волн в нагретых газах, где разброс
молекул по скоростям приводит к доплеровскому сдвигу их частот
относительно частоты поля.
Механическая теория дисперсии света фактически была построена Максвеллом
в 1869 г. как решение экзаменационной задачи, а затем уже в 1871г.
Зельмейер вновь получил формулу, связывающую показатель преломления п и
частоту ш, в механической теории эфира [1].
Рис. 3.1. Механическая модель атома: т и е - масса и заряд электрона; х -
его координата; q - жесткость пружины; справа - устройство, создающее
силу, пропорциональную скорости [2]
Рассмотрим среду, состоящую из идентичных осцилляторов, не
взаимодействующих друг с другом, например, среду, представляющую собой
ансамбль независимых атомов, в каждом из которых всего один электрон.
Механическая модель атома изображена на рис. 3.1.
В рамках этой модели электрон представляется линейным осциллятором с
затуханием, колебания которого под действием внешнего поля
