Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
= 0. у = 0). Состояние равновесия в этом случае называется седлом. Здесь
имеется аналогия с соответствующим географическим понятием [4]. В горах
перевалом (или седлом) называют самую низшую точку между вершинами, к
которой стекают потоки с вершин. С перевала потоки обрушиваются в разные
долины. "Разнодолинные" потоки разделяет водораздел - линия, проходящая
через седло. На нашем фазовом портрете через седло проходят асимптоты
гиперболы, которые называются сепаратрисами. Отметим, что состояние
движения в окрестности седла, очевидно, неустойчиво1. Малые отклонения
приводят к большим последствиям (строгое определение устойчивости дано
ниже).
Как изменятся движение осциллятора и его фазовый портрет, если
существенны потери (трение, вязкость и т.д.), т. е. когда 7 ф 0 (1.1)?
Согласно (1.1) или эквивалентной системе уравнений
Состояние равновесия в этом случае также единственное, и ему
соответствует начало координат (х = 0,у = 0). Для интегрирования (1-23)
сделаем замену у = xz и перепишем (1.23) в виде
После интегрирования и перехода к старым переменным при достаточно малом
затухании, когда 72 < находим связь между у и х:
X = У: У = -2^у -
(1.22)
Уравнение интегральных кривых имеет вид
dy 27 у + и\х dx ~ У
(1.23)
z dz
dx
z2 + 27 z + U) 0
X '
\J\
y2 + 27xy + U)$x2 = Cl exp
V Vwo - 7
1Из (1.19) следует, что в верхней полуплоскости координата х должна
возрастать,
а в нижней убывать. Все траектории, за исключением состояния равновесия и
двух сепаратрис, соответствуют нефинитным движениям системы (рис. 1.2).
1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора
•25
которая и позволяет построить фазовый портрет линейного осциллятора с
затуханием (С -- произвольная постоянная). Скорость изображающей точки
при ее движении по фазовой траектории у/ж2 -I- у2 = = у/т/2 + (27у +
содх)2 не обращается в нуль нигде, кроме начала координат. Подчеркнем,
что при движении по любой траектории скорость изображающей точки
стремится к нулю при приближении к точке равновесия. Чтобы лучше понять
детали фазового портрета, введем новые переменные и = у/^о ~ 72ж- v = y +
jx и будем считать их прямоугольными координатами. Тогда очевидно, что
у2 + 27Х'у + WgX2 = и2 + v2,
и2 + v2 = С2 exp (- arctg ,
7\/wo-72 /
и в полярных координатах (и = pcos<p, v = psin</?) вместо (1.24)
окончательно получим
р = С1'Щ>( -===)¦ (1-25)
Vy/^ -72/
Поскольку решения уравнения (1.1) известны, легко показать, что ip = -(wt
+ a), а = arctg [(т/о + 7^о) / (хоу/шо " 72)] (Уо- х0 -- значения у и х
при 1 = 0), и, следовательно, р> убывает со временем, а р -> О при t ->
00.
Рис. 1.3. Фазовый портрет линейного осциллятора с малым затуханием:
состояние равновесия - устойчивый фокус
Таким образом, фазовые траектории на плоскости uv представляют собой
логарифмические спирали, скручивающиеся к точке равновесия (и = 0, v =
0), которая называется устойчивым фокусом (рис. 1.3).
26
Глава 1
При малых значениях 7 / ywg - 72 витки спирали близки к окружностям и2 +
v2 = С2, которые на плоскости ху превращаются в эллип-сы у2 + 27ху +
lJqX2 = С2. Следовательно, при малых 7 / \/u>q - у2 витки спирали близки
на одном обороте к эллипсам с соответствующими значениями С\. так что
фазовый портрет на плоскости ху, так же как и на плоскости uv, является
семейством логарифмических спиралей с устойчивым фокусом в начале
координат. Таким образом, из вида фазового портрета можно сделать вывод о
том, что при любых начальных условиях (кроме определяющих состояние
равновесия) движение нашей диссипативной системы представляет собой
затухающий колебательный процесс. Все спирали на фазовой плоскости
асимптотически приближаются к началу координат, а радиус-вектор
изображающей точки уменьшается с каждым оборотом спирали.
Рис. 1.4. Фазовый портрет линейного осциллятора, совершающего затухающие
апериодические колебания: состояние равновесия - устойчивый узел: 1 - У =
~Ч2Х\ 2 - у = -qix\ 3 - у = -qiq2x/{qi + q2)
Если у2 > cjq, то процесс становится затухающим апериодическим (рис.
1.4). Состояние равновесия становится устойчивым узлом (х = О, у = 0). Мы
предоставляем читателю возможность показать, что в этом случае
интегральные кривые определяются уравнением
v = С\иа,
где v = y+qix, и = y+q2X, qY = 7- s/j2 - > 0, q2 = 7+ \/-f2 - Wq >
a = <72/91 > 1 [2] (рис. 1.4). Изменение знака 7 (отрицательные трение,
сопротивление, проводимость и т.д.) приводит к тому, что состояния
равновесия становятся неустойчивыми (рис. 1.5). В системе, описыва-
1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора
27
емой уравнением (1.19) (система с отталкивающей силой), включение
трения, как положительного, так и отрицательного, не изменит
прин-
ципиально фазового портрета (см. рис. 1.2), так как состояние равновесия
- седло.
х
Рис. 1.5. Фазовые портреты ли- / s'
нейного осциллятора при 7 < 0. iff.
Состояния равновесия неустой- I V v
чивы
Как известно, решение уравнения (1.1) для ф2 ф u)q имеет вид
х = Aexp(pil) + В ехр(р2?);
