Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
N2 = -E2N2 (1-Ю)
(?2 - постоянный положительный коэффициент вымирания). Можно допустить,
что при совместном проживании видов численность хищников будет
увеличиваться тем быстрее, чем больше их частота столкновений с жертвами.
Эта частота столкновений пропорциональна N1N2. Таким образом, для
описания численности двух совместно существующих видов мы приходим к
системе дифференциальных уравнений
N1 = N1(e1 - J2N2), N2 = -N2(?2 - jiNx), (1-11)
где 72 - положительная постоянная, характеризующая гибель жертв из-за
встречи с хищниками; 71 - положительная постоянная, характеризующая
размножение хищников.
Подобно тому, как мы поступали в случае модели Лотки, найдем состояния
равновесия N° и N°. Из уравнений (1.11) при = N2 = 0 имеем
N? = ^ N° = (1.12)
Для малых отклонений численности видов от стационарных значений
(Ni = N° + N[(t) и N2 - N° + N^t)) после линеаризации уравнений
(1.11) получим
N[ = -72 TV? IV' = - ^TV', TV' = 7lTV2°TV( = ^N[. (1.13)
Дифференцируя первое уравнение системы (1.13) по времени и используя
второе, приходим к уравнению для гармонического осциллятора:
N[+w20N[= 0, (1.14)
где и>д = ?1?2 (такое же уравнение получается и для Щ). Если в (1.14)
ввести обозначение N[ = х, то приходим к уравнению (1.2).
Вернемся к исходной модели. Введем новую переменную у - х и перепишем
уравнение (1.2) в виде системы двух уравнений:
х-У, у--ш1х. (1.15)
Плоскость переменных х я х называется фазовой плоскостью уравнения (1.2).
Каждой точке фазовой плоскости ("изображающей", или "фазовой", точке)
соответствует вполне определенное состояние системы.
22
Глава 1
Траектория изображающей точки называется фазовой траекторией. Через
каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна траектория.
Заметим, что фазовая траектория может состоять всего из одной точки,
называемой положением равновесия. Скорость изображающей точки называется
диаграммной скоростью. В положении равновесия она равна нулю. Фазовую
траекторию и диаграммную скорость не следует смешивать с действительными
траекторией и скоростью движения.
Рис. 1.1. Фазовый портрет гармонического осциллятора, описываемого
уравнением (1.2): о>о = \/g/l - математический маятник; о>о = 1/VLC -
электрический контур; и>о = л/?1?2 - линеаризованная модель "хищник-
жертва"; в начале координат - состояние равновесия типа "центр"
Уравнение, определяющее семейство интегральных кривых у = у(х, С) на
фазовой плоскости, имеет вид
dy 2 х r-i
й = -""г (1Л6)
Интегрируя (1.16), находим, что интегральные кривые для осциллятора - это
набор эллипсов, оси которых совпадают с координатными осями (рис. 1.1):
у2 X2U>q
с+~с^ = 1- (1Л7)
Параметр С определяется начальными условиями. Дополнив интегральные
кривые стрелками, определяющими направления движения (в нашем случае - по
часовой стрелке - в верхней полуплоскости dx/dt > 0), получим полный
фазовый портрет линейного осциллятора. Одна из фазовых траекторий состоит
всего из одной точки, которая соответствует состоянию равновесия.
Состояниям равновесия соответствует равенство нулю или отсутствие сил,
вызывающих движение, т. е. х = х = 0. В нашем случае состояние равновесия
находится в начале координат (х = 0, у - 0). Это изолированное состояние
равновесия, к которому не стремится ни одна траектория, называют центром.
1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора
23
Скорость движения изображающей точки вдоль фазовой траектории
(диаграммная скорость) для гармонического осциллятора не зависит от
траектории, по которой движется изображающая точка, период обращения
всегда равен Т = 2тг/шо. Рассмотрим ансамбль одинаковых осцилляторов с
разными начальными энергиями и одинаковыми начальными фазами (на фазовой
плоскости начальные состояния будут изображаться точками на прямой,
проходящей через начало координат). Через произвольное время фазы всех
осцилляторов по-прежнему будут одинаковы, т. е. движение линейного
осциллятора является изохронным.
Рис. 1.2. Фазовый портрет линейной системы с отталкивающей силой,
описываемой уравнением (1.18): состояние равновесия - седло: биссектрисы
квадрантов - сепаратрисы
Какие еще возможны фазовые портреты для линеаризованных систем с одной
степенью свободы? Пусть уравнение осциллятора имеет вид
х - а х = 0.
(1.18)
Такое уравнение описывает, например, малые отклонения маятника от
положения равновесия в верхней точке, его фазовый портрет представлен на
рис. 1.2 [2]. Как и в предыдущем случае, заменим (1.18) двумя уравнениями
первого порядка:
х = у, у = а2 т. (1.19)
Из (1.19) следует уравнение с разделяющимися переменными:
dy
dx
У '
(1.20)
интегрирование которого дает семейство равносторонних гипербол,
отнесенных к главным осям:
2 2 2 П
у -ах - С
(1.21)
24
Глава 1
(С - постоянная интегрирования). Если (7 = 0, то получаем прямые у - ах и
у = - ах, которые являются асимптотами семейства гипербол (рис. 1.2) и
проходят через состояние равновесия, расположенное в начале координат (х
