Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
установилось термодинамическое равновесие. Для поддержания этих
представлений в конце 40-х годов была проведена серия численных
экспериментов с моделями нелинейных цепочек из большого числа частиц, но
термализации не обнаружилось - система периодически возвращалась в
состояние с начальным распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-
Улама). В действительности нелинейные волновые системы бывают двух типов
- интегрируемые (или близкие к ним), они демонстрируют лишь простое
периодическое или квазипериодическое поведение, и неинтег-рируемые.
Неинтегрируемые системы при достаточно большой начальной энергии
стохастизуются. По случайному стечению обстоятельств цепочка, с которой
работали Ферми, Паста и Улам, при выбранных ими значениях параметров
оказалась близкой к интегрируемой.
16
Введение
И в интегрируемых, и в неинтегрируемых системах возможно существование
частных решений, соответствующих так называемым когерентным образованиям,
или пространственным структурам. Пример - солитоны, стационарные ударные
волны и др.
Когерентные нелинейные образования сейчас детально исследованы в физике
твердого тела (домены), в физике плазмы (ленгмюров-скпе солитоны), в
геофизике и океанологии (циклоны и антициклоны, ринги), в физике
планетных атмосфер (Красное пятно Юпитера), в нелинейной оптике
(сверхкороткие импульсы). Сейчас есть надежда на подтверждение
представлений об элементарных частицах как о солито-нах квантовых полей.
С точки зрения биофизики чрезвычайно интересны когерентные образования в
диссипативных неравновесных средах - диссипативные структуры и
автоволны1. Примерами таких автоволн и диссипативных структур служат
волны горения, импульсы возбуждения в нервных и мышечных волокнах,
пространственно-временное изменение численности в популяциях организмов,
концентрационные волны в автокаталитических химических реакциях. Основная
особенность этих пространственно-временных структур заключается в том,
что они слабо зависят от свойств источника неравновесности, граничных
условий и начального состояния среды. Диссипативные структуры в
неравновесных средах сейчас представляют собой чрезвычайно
привлекательный объект исследования как одна из наиболее типичных и
естественных форм самоорганизации.
Конечно, в рамках одной книги, в которой обсуждению последних результатов
предшествует подробное изложение классической теории, невозможно
познакомить читателя с современной теорией колебаний и волн (в
особенности нелинейной) в полной мере. Мы, однако, надеемся, что
заключительные главы книги послужат введением в эту чрезвычайно
увлекательную область науки.
1Термин введен Р. В. Хохловым по аналогии с автоколебаниями.
Часть I
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Глава 1 Линейный осциллятор
1.1. Общие замечания
Как мы знаем, для теории колебаний и груз на пружине, и колебательный
контур - это один и тот же объект исследования. Оба они описываются
известным дифференциальным уравнением и характеризуются одним и тем же
фазовым пространством - плоскостью, разбитой на траектории семейством
вложенных друг в друга эллипсов. Это вроде бы тривиально. "Но не
тривиально то, что это тривиально", - - говорил Л. И. Мандельштам, т. е.
не тривиально, что эта аналогия между колебаниями груза на пружине и
колебаниями заряда или тока в контуре является настолько далеко идущей,
что она стала привычным способом рассуждения у физиков, несмотря на то.
что сами явления относятся к двум различным областям [1]. Сказанному и
соответствуют содержание и идеология данной главы, в которой обсуждаются
свойства линейного осциллятора - основной модели линейной теории
колебаний и волн.
Уравнение движения линейного осциллятора, описывающее его свободные
колебания, имеет вид
х + 2^х + u)qX = 0. (1-1)
Здесь х - смещение от положения равновесия для механических систем
(например, координата грузика на пружине), заряд в электрических системах
(например, заряд на пластинах конденсатора в колебательном контуре) или
что-нибудь еще в зависимости от природы осциллятора; 7 - параметр,
характеризующий потери (трение, сопротивление и т. п.); и>о - собственная
частота осциллятора; х = dx/dt и х = d2x/dt2 - соответствующие
производные по времени. Линейный
18
Глава 1
осциллятор - частный (но очень важный) пример линейных динамических
систем, поведение которых описывается функциональным линейным уравнением
Ьи = 0, где L - линейный оператор (напомним, что если "1 и "2 - решения
уравнения Ьи = 0, то его решениями являются также комбинации CiUi + С^и^,
где Ci и Сг - постоянные). Уравнение (1.1) в явном виде не содержит
зависимости от времени. Это результат того, что система, которую оно
описывает, не испытывает действия переменных сил, и ее параметры
постоянны во времени - система автономная. Если теперь предположить, что
7 = 0 (или добротность системы Q = шо/(27) бесконечна), то мы приходим к
уравнению осциллятора, совершающего гармонические колебания:
