Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
интервал между собственными частотами линейной системы. Этот результат
весьма важен, например, для определения констант колебаний молекул,
которые характеризуются парциальными частотами. Наблюдается же спектр
нормальных частот, поскольку любое исследуемое вещество представляет
собой ансамбль связанных систем. Поэтому следует делать поправку на связь
подсистем. Полученный нами результат об удалении собственных частот друг
от друга при введении связи позволяет оценить расположение искомых
парциальных частот.
В качестве примера вернемся к более подробному рассмотрению двух
связанных - симпатических маятников, колебания которых описываются
системой уравнений (2.3) при = ш\ = loq. Закрепив одну из координат,
определим парциальные частоты из соотношений п\ = ш^ + к/т,п\ = u>q +
k/m. Таким образом, при данном выборе подсистем парциальные частоты
равны. Чтобы выяснить, как маятники будут влиять друг на друга,
попытаемся "угадать" нормальные колебания. Введем новые переменные их =
хх 4- х2 и и2 = хх - х2. В этих координатах система уравнений (2.3) при
шх = ш2 = Wq переходит в уравнения двух независимых осцилляторов:
w-i + = 0, й2 + (ш% + 2^)ы2 = о (2.12)
Следовательно, нормальные частоты суть ш2 = \Jwр +2^, ш'х = wo, т. е.
интервал между собственными частотами системы при введении связи
действительно увеличивается (рис. 2.3), посколь-
ку w0 < У Wo + ^ < \/wq + 2jЕсли и2 = 0, то хх = х2 и оба маятника будут
двигаться с "невозмущенной" частотой шх = Wo, а пружина в этом случае не
работает (синфазные колебания на рис. 2.4 а). Если их = 0, то хх = -х2, а
маятники движутся в противофазе с частотой ш'2 = ^Wq 4- 2которая
увеличилась из-за действия пружины (противофазные колебания на рис. 2.4
б). Когда связь слабая, ее естественно можно рассматривать как малое
возмущение, а совместные колебания осцилляторов - как взаимодействие
между ними. При условии слабой связи (fc/(mwg) -С 1) ш2 й wq + к/(тшо), а
решения уравне-
СО\ СО'г О)
Рис. 2.3. Увеличение интервала между собственными частотами системы из
двух одинаковых маятников при введении связи
44
Глава 2
Рис. 2.4. Синфазные (а) и противофазные (б) колебания двух одинаковых
маятников
ний (2.12) имеют вид
и 1 = Oi COSWq? + b2 sinwoi,
и2 = e2 COS ( [wo + t) + b2 sin ([wo + t).
(2.13)
Пусть при t = 0 выполняются равенства x\ = x2 = u± = u2 = 0, а одному из
маятников сообщена скорость х?\ = С, так что, поскольку х2 = 0, щ = "2 =
С. Из соотношений (2.13) при таких начальных условиях находим, что
"1 = ^ Sinw0?, "2 =
Нас интересует поведение каждого маятника, поэтому перейдем к исходным
переменным:
xi, 2 = 2" I sinw0? ±
Окончательно имеем п
х\ к, - sinw0lcos , "
wo V 2 mw0
1 -
k
mu? о
sin | [w0 +
С Ik
X2 " - -- cos W01 sin К-
* u?o u I 2mw,
(2.14)
При выводе (2.14) мы пренебрегли к/(muq) по сравнению с единицей. В силу
малости величины а = к/(2ти?0) маятники совершают колебания с частотой
wo, амплитуда которых медленно изменяется. Получились биения (рис. 2.5).
Нетрудно видеть, что, например, при at = 7г/2 первый маятник будет
неподвижен (x-i = ii = 0 в пренебрежении слагаемыми, содержащими к/(тшо))
и вся энергия перейдет ко второму маятнику.
2.2. Свободные колебания двух связанных осцилляторов
45
Таким образом, связь приводит к тому, что происходит периодический обмен
энергией между осцилляторами, причем период перекачки зависит от связи
(полная перекачка энергии между осцилляторами имеет место через время,
кратное Т' и 7г/а = 2nmuio/k). При малом значении а мала энергия
взаимодействия, т. е. энергия, вносимая одним осциллятором в другой; но
даже при сколь угодно малой связи будет происходить полный обмен
энергией. Правда, период перекачки будет при этом неограниченно расти (Т'
~ 1/а). Казалось бы, при а -> 0 энергообмен должен прекращаться, а он
просто замедляется. Дело здесь опять в резонансе: парциальные частоты
маятников одинаковы, поэтому воздействие сколь угодно малой связи
приводит к перекачке - эффективному обмену энергией. Такой резонанс
называют внутренним резонансом (см. гл. 18), имея в виду, что
взаимодействуют подсистемы одной системы.
При rii ф п2 сколь угодно слабая связь влиять уже не будет. Поэтому для
определения степени взаимодействия осцилляторов вводят параметр,
учитывающий как связь, так и близость парциальных частот. Этот параметр
называют связанностью и определяют формулой
к/т
Р I 2 ДГ'
\п\ - п\I
В ряде случаев уравнения движения анализируемой системы удобно
представить в специальных формах, называемых формой связанных колебаний и
формой нормальных колебаний [5]. Остановимся кратко на их получении.
Умножим второе уравнение из (2.1) на и результат сложим
с первым уравнением из (2.1). Это дает
~(vi Т iu>ixi) = тiu>i(vi гшхХх) + |/(т2 - ?i),
или
Рис. 2.5. Биения двух одинаковых связанных осцилляторов при слабой связи
^тт1= -icoxai + -1т=(т2 - хг), <~ = +-^-(х2 - хi), (2.15)
dt 2 у/т dt 2 у/т
46
Глава 2
где
( ¦ \^т * t , ¦ \Чт /о 1ЛЧ
