Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
(11 = (г>1 - luJiXi)-^-, аг = (V! + гшхХг)-^-. (2.16)
Все необходимые тождественные преобразования проделаем лишь с первым
уравнением из (2.15):
("2 - Ш2Х2)
dax . к
~тт - -гшхйх 4- ------------хг
at 2гш2 т I
mt , ¦ i к (v2 + IW2X2) - тр
2iu)2m 2
п, . , к
(vi + lUxXx) + pr
2iwim 2
2iu>im 2 Вводя по аналогии с (2.16)
/ ¦ , • Л лАгГ
а-2 = (v2 ~ 1Ш2Х2)-^, а2 = (vi + ги)2х2)-^-,
окончательно получим
сц ах + сх2а2 + c13aj + с14а2, где коэффициенты имеют вид
схх = -( 1 +
(Vx - ШхХх).
(2.17)
(2.18)
2тизт
Cl2
2ти>2'
С13
к
' 2mwi '
С14 = -г
к
2тш2 '
Предоставляя читателю проделать аналогичные преобразования с другими
уравнениями, выпишем окончательный результат в матричной форме:
cL4
dt
ах Cll Cl 2 С13 С14
А = а2 с = С21 С22 С23 С24
°i С31 С32 сзз С34
.°2. С41 С4 2 С43 С44.
(2.19)
причем схх = -С33, с22 = - с44 = - гш2[1 + fc/(2mwf)], С13 = c2i = - с23
= = - С31 = С41 = -С43, Cl2 = - С14 = с24 =с32 = - с34 = - с42 =
гк/(2тш2).
2.2. Свободные колебания двух связанных осцилляторов
47
Запись (2.19) называется формой связанных колебаний [5]. Этим названием
подчеркивается, что коэффициенты связи c,j ~ к связывают нормальные
колебания а±, 02, а?, а2 изолированных маятников. Отыскивая решение
(2.19) в виде a,(f) = яДО) exp(iwt) и o-(i) = а* (0) exp(iwt) (г = 1, 2),
получаем систему алгебраических уравнений для о,(0) и а*(0), условие
совместности которой приводит к характеристическому уравнению
-iw + Сц С21 С31 Сц
С12 -iw 4- С22 С32 С 42
С13 С23 -iw + С33 С43
С14
С24
С34
-iw + С44
= 0.
(2.20)
Корни этого уравнения суть частоты нормальных колебаний системы двух
связанных маятников. При получении (2.19) и (2.20) мы не делали никаких
допущений, кроме предположения о малости амплитуд и о гармоническом
изменении координат во времени. В этом смысле уравнения (2.20) и (2.10)
равнозначны. В гл. 1 отмечалось, что нормальные колебания а,- и а* можно
наглядно представить двумя векторами одинаковой длины, которые вращаются
в разные стороны. Но тогда естественно предположить, что колебания,
соответствующие противоположно вращающимся векторам, связаны слабо, т. е.
в уравнениях (2.19) можно пренебречь всеми слагаемыми, связывающими яг- с
я*. Интуитивно ясно, что для реальности таких допущений нужно, чтобы
осцилляторы были слабо связаны: энергия связи должна быть малой по
сравнению с потенциальной энергией каждого осциллятора, т. е. kj(mw\ 2) -
С 1. Кроме того, связанность осцилляторов должна быть большой.
(Значительная часть энергии от одного осциллятора будет передаваться
другому.) Для этого нужно, чтобы wi к, W2- Тогда из (2.19) получим
dai da 2
- - СцОх + Ci2"2, - С21Й1 + С22О2
и два аналогичных уравнения для оф и я2, а из (2.20) -
-iw + сц С21
С12 -iw 4- С22
(2.21)
(2.22)
Решая (2.22) с учетом приведенных выше значений aj для связанной системы,
которой соответствуют уравнения (2.21), находим следу-
48
Глава 2
ющие частоты нормальных колебаний:
Wl + Ш2
ш1,2 -
+
к
2mv/w1W2
(2.23)
При u>i = и>2 = изо из (2.23) получаем из'х = ojq и oj'2 = и>о +
к/(ти>о)> что совпадает с ранее полученными выражениями. Системе
уравнений для al и а2 соответствуют нормальные частоты - и - ш2.
Решения (2.23) могут быть получены непосредственно из (2.20) при
выполнении условий k/(mujf 2) " 1 и ц й ш2. Таким образом, пренебрежение
в (2.19) слагаемыми, связывающими аг- и а*, действительно эквивалентно
предположениям о слабой связи и большой связанности.
Часто используется также другой общий метод нахождения иной формы
уравнений для системы связанных осцилляторов - формы нормальных
колебаний. Не останавливаясь на деталях, сформулируем суть метода в виде
теоремы (см. [5]).
Для системы п связанных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
dX
dt
= MX; X =
~х{ 'mu ГП12 • ¦ т1п
Х2 , м = ТО21 т22 ¦ ¦ т2п
Дпш тп1 тп 2 . нппп^
существует линейное преобразование X - NY переменных X к переменным Y
(где N - постоянная матрица), приводящее систему уравнений к виду
dY
dt
= fi'Y,
где Q,' - матрица, элементы которой, лежащие на главной диагонали, -
нормальные частоты колебаний, а элементы лштрицы Y - амплитуды нормальных
колебаний.
Заметим, что, как и в случае одиночного осциллятора, имеется аналогия с
квантовой механикой, форма связанных колебаний аналогична рассмотрению
двух связанных осцилляторов с помощью операторов рождения и уничтожения
[6].
Если говорить о математическом подходе, наиболее удобном для анализа
колебаний связанных осцилляторов, то в случае слабой связи предпочтение
следует отдавать, по-видимому, форме связанных колебаний.
2.3. Возбуждение двух связанных осцилляторов внешней силой
49
2.3. Возбуждение двух связанных осцилляторов внешней силой. Теорема
взаимности
Пусть на систему двух связанных осцилляторов действуют внешние
периодические силы. Тогда уравнения движения (2.6) с учетом (2.7)
принимают вид
Ах + ах + Ну + hy = Fi, Нх + hx + By + by = F2- (2-24)
Вначале пусть F2 - 0, F\ - F costtt. Нас интересует вынужденное решение
