Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
х + u)qX = 0. (1.2)
Такой осциллятор называется консервативным, поскольку его энергия
сохраняется во времени. Это утверждение легко доказать даже для более
общего, чем (1.2), случая - случая нелинейного осциллятора:
x = f{x). (1.3)
Полная энергия системы (1.3) складывается из суммы кинетической и
потенциальной энергий:
X
W = WK + Wn = f- I (1.4)
Xq
Зависимость потенциальной энергии от координаты
X
W..-J /(С) (форма потенциальной "ямы")
Хо
определяет поведение системы (1.3). Выбор знака в формуле для
потенциальной энергии легко понять, если вычислить Wn, скажем, для
уравнения (1.2): если х0 = 0, то Wn = ш^х2/2, т.е. знак выбран так,
чтобы потенциальная энергия маятника была тем больше, чем больше он
отклонен. Дифференцируя (1.4) по времени, находим, что
W = хх - xf(x) = х[х - f(x)] = 0.
Таким образом. W(x, х) не зависит от времени. Полная энергия сохраняется,
т. е. колебательная система, соответствующая уравнению (1.3),
консервативна.
1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора
19
Уравнения (1.3) и (1.2) - это обыкновенные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами. Они описывают системы с
одной степенью свободы. Число степеней свободы вдвое меньше порядка
дифференциального уравнения, описывающего систему [2]. Поэтому системе с
одной степенью свободы соответствует двумерное фазовое пространство -
поверхность, с полутора степенями свободы - трехмерное фазовое
пространство, а системе с двумя степенями свободы - естественно,
четырехмерное.
1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора
Прежде чем рассматривать движение линейного осциллятора - системы с одной
степенью свободы - на фазовой плоскости, приведем еще два нетривиальных,
хотя уже и ставших классическими примера линейных осцилляторов, которые
встречаются в химии и биологии.
В химии простейшим примером колебательной реакции, протекающей в
гомогенной (однородной) среде, является модель Лотки [3, 4], кинетическая
схема которой имеет вид
Данная запись соответствует следующей гипотетической реакции. В некотором
объеме находится вещество А, расход которого в процессе реакции почти
незаметен (в этом случае говорят, что А находится в избытке). Происходит
превращение молекул вещества А в молекулы веществаХ. Эта реакция нулевого
порядка протекает с постоянной скоростью ко- Далее вещество X
превращается в вещество Y с тем большей скоростью, чем больше
концентрация молекул вещества Y (это обстоятельство в кинетической схеме
отмечено обратной стрелкой над У). Эта реакция является реакцией второго
порядка. Наконец, молекулы вещества У необратимо распадаются, образуя
вещество В (реакция первого порядка). Используя правила составления
кинетических уравнений [4] и сохранив для концентрации веществ
обозначения X, У и В, запишем математическую модель реакции Лотки в
следующем виде:
Х = к0-к1 ХУ, Y = k1XY-k2Y, B = k2Y. (1.5)
Если концентрации X и У не меняются во времени, то реакция может
протекать так, что скорость образования В будет постоянной.
20
Глава 1
Сказанному соответствуют условия X = Y = 0, или kg - kiXoYo = 0, kiXoYo -
АдЕо = 0,
(1.6)
где Х0 и Y0 - равновесные концентрации. Из системы (1.6) следует, что
Предположим, что существуют малые отклонения x(t) и y(t) от равновесных
значений концентраций Хо, Уо, т. е. будем считать, что X(t) - Хо + х и
Y(t) = Y0 + у, причем х С Хо, у <С Y0. Подставляя выражения для 1(f) и У
(t) в первые два уравнения системы (1.5), учитывая (1.7) и пренебрегая
произведениями переменных величин как членами второго порядка малости,
получаем
Система уравнений (1.8) легко сводится к уравнению линейного осциллятора
(1.1), если формально считать, что Ад&о/&2 = 27, к\ко = = u)q.
Разумеется, нелинейная система уравнений (1.5) богаче решениями, чем
уравнение линейного осциллятора (1.1), которое получилось из нее лишь в
силу сделанных допущений о малости возмущений концентрации. Мы вернемся к
нелинейной модели Лотки как составному элементу более сложных
периодических химических реакций (например, реакции Белоусова-
Жаботинского).
Второй пример - известная модель экологии "хищник-жертва" (модель
Вольтерра [2-5]). В этой модели рассматриваются два вида животных, один
из которых питается другим. Соответствующую задачу часто формулируют в
виде вопроса: могут ли, например, лисы съесть всех зайцев?
Пусть на замкнутом ареале живут два вида - хищники и вегетарианцы-жертвы.
Жертвы (их число Ni(t)) питаются растительной пищей, имеющейся в избытке,
а хищники (их число A^(i)) питаются только жертвами. Если жертвы живут на
ареале одни и пищи им хватает, то численность этого вида будет
увеличиваться:
(1.7)
(1.8)
iVi = exNi
(1.9)
(гд - постоянный положительный коэффициент прироста). Заметим, что
уравнение (1.9) аналогично рассмотренной выше химической реакции первого
порядка. Если бы на ареале жили одни хищники, то из-за
1.2. Два примера. Фазовый портрет осциллятора
21
отсутствия пищи они бы вымерли:
