Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрения стали почти очевидными. Сформировался своеобразный
нелинейный язык, оперирующий такими понятиями, как нелинейный резонанс,
автоколебания, синхронизация, конкуренция, параметрическое взаимодействие
и т.д.1 Этот язык сопутствовал формированию современной теории колебаний
и волн.
Подчеркнем здесь, что в настоящее время колебательные и волновые задачи
считаются предметом единой теории. Исторически же
1Изложение с единой точки зрения колебательных и волновых явлений
различной природы на уровне курса общей физики содержится в книге:
Горелик Г. С. Колебания и волны. - М.: Физматгиз, 1S59.
14
Введение
теория колебаний и теория волн значительный период времени развивались
независимо. Дело в том, что до середины 50-х годов теория волн
интересовалась в основном линейными задачами (исключением были
гидродинамика и газодинамика), интересы же классической теории колебаний
были сосредоточены на нелинейных проблемах. Причем теория колебаний
нелинейных систем с одной степенью свободы к этому времени была уже
практически завершена. Это оказалось возможным благодаря введению А. А.
Андроновым и JT. С. Понтрягиным понятия грубых динамических систем -
систем, качественно не меняющих своего поведения при малом изменении
параметров1. Детальный анализ грубых систем в совокупности с полным
исследованием качественных перестроек двумерных фазовых портретов при
сколь угодно малом изменении параметров позволяет ответить практически на
любой вопрос о поведении нелинейной динамической системы с двумерным
фазовым пространством.
Интенсивные исследования нелинейных волн начались лишь в 60-е годы:
именно тогда родились нелинейная физика плазмы, нелинейные оптика и
акустика, электродинамика, физика высоких энергий (включающая физику
взрыва и ударных волн). Появилась нелинейная термодинамика, описывающая
переходы в системах (в частности, химических и биологических), далеких от
термодинамического равновесия.
Для иллюстрации современного состояния теории нелинейных колебаний и волн
остановимся здесь кратко лишь на двух ее направлениях - исследовании
когерентных состояний и сложных детерминированных структур и анализе
случайного (стохастического) поведения детерминированных систем.
Взаимосвязь динамики и статистики волнует физиков уже на протяжении
столетия, и, конечно, главным всегда был вопрос: можно ли строго получить
статистическое описание из динамического? До недавнего времени ответ был
отрицательным. Возникновение случайности в классической (неквантовой)
динамической системе (не подверженной действию шумов) связывалось
исключительно с ее сложностью - чрезвычайно большим числом степеней
свободы (например, газ в сосуде), когда детерминированное описание просто
теряет смысл, хотя в принципе и возможно. При этом переход к
вероятностному описанию основывался на какой-либо гипотезе (например,
эргодической). Появившаяся сейчас строгая теория позволяет утверждать,
что нелинейные динамические системы могут в прямом смысле
1 Основополагающую роль в развитии нелинейной теории колебаний сыграла
кни-га: Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебании. - М:
Наука, 1981 (1-е изд. - 1937г.).
Введение
15
"порождать статистику", т. е. статистический подход здесь не приближенный
метод описания, а единственно верное отражение реального поведения
динамической системы. Поразительность недавних физических и
математических открытий заключается, в частности, в том, что случайное
поведение демонстрируют уже и очень простые нелинейные системы (с малым
числом степеней свободы), например, шарик в бильярде с вогнутыми
стенками, электрон в ноле двух синусоидальных волн и др. Как возникает
случайность в детерминированной системе вопреки единственности решения?
Односложный ответ - в результате неустойчивости индивидуальных движений,
происходящих внутри ограниченного фазового объема. Неустойчивость всех
финитных движений (движения происходят в ограниченной области
пространства) гарантирует сложность почти всех отдельных движении и
бесконечное их разнообразие, благодаря чему естественным образом
появляется понятие ансамбля и основывающееся на нем статистическое
описание.
Сейчас построена, в основном, подтверждаемая экспериментом теория
перехода от детерминированного поведения к стохастическому для самых
разнообразных динамических систем (гидродинамических течений,
радиотехнических генераторов случайных сигналов, автока-талитических
химических реакций и др.).
Может показаться естественным, что если уже поведение системы с малым
числом степеней свободы может быть сложным, то система с бесконечным
числом степеней свободы заведомо должна демонстрировать случайное
поведение. Однако в общем случае это не так. В свое время была выдвинута
гипотеза о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы
наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в
отдельных степенях свободы, распределилась по всем модам и таким образом
