Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
порядковыми номерами п и п'. Таким образом,
Ап, П' - А(п' - п); А(п' - п) - А(п-"'). (1.7)
Во-вторых, силы не меняются, если все атомы передвинуть на одинаковое
расстояние в одном и том же направлении. Для этого нужно, чтобы
выполнялось условие
2Л("' - ") = 0. (1.8)
П
Теперь мы найдем нормальные колебания, т. е. такие типы движения, при
которых все атомы колеблются с одной и той же частотой о) padjceK. Будем
искать решение в виде
un(t)=:u0ne-M. (1.9)
Комплексные обозначения употребляются здесь только для облегчения
вычислений, и, конечно, в конце концов из комплексных функций типа (1.9)
мы построим действительные решения. С помощью (1.9) мы получаем уравнение
Жо)9иО - 2Л(га' - га)и(r), = 0. (1.10)
п'
Это разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение можно
найти хорошо известным способом.
Если сделать подстановку
1,
уравнение (1.10) не изменится. Следовательно, любое решение уравнения
(1.10) должно удовлетворять этому уравнению и после того, как мы сделали
в нем такую подстановку. Полученное таким образом новое решение может
либо в основном совпадать со старым, либо отличаться от него. В первом
случае оно может отличаться на
26
ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
постоянный множитель, так что
ил+1 = е^и". (1.11)
Это соотношение является общим, если мы не требуем, чтобы / было
действительным. С другой стороны, если новое решение не пропорционально
старому, то отсюда следует, что уравнение имеет по крайней мере два
независимых решения, что можно потом использовать для построения линейных
комбинаций (которые тоже являются решениями уравнений), удовлетворяющих
уравнению (1.11).
Взяв наше решение в такой форме, мы, очевидно, получаем
и(r) = const • е^'т (1-12)
или, подставляя в (1.10),
Ж("2 = 2 А (0 е"1а = 2 А (0 cos fla; (1.13)
i i
последнее равенство вытекает из симметрии коэффициентов (через I
обозначена разность п' - л). Мы видим, что п исчезло из уравнения,
т. е. мы свели систему уравнений (1.10) к одному, что
подтверж-
дает правильность выбранного решения (1.12). Кроме того, мы видим, что
каждому /, согласно соотношению (1.13), соответствует определенное
значение ("2, причем
и,2(/) = ш2(-/).
Теперь мы должны рассмотреть, каковы допустимые значения /. Это зависит
от того, что мы предполагаем о концах цепочки. Строго говоря, наше
правило (1.7) справедливо только для бесконечно длинной цепочки, так как
силы, действующие на атомы около ее конца, отличны от тех, которые
действуют на атомы в середине цепочки. Действительно, при разумных
предположениях о силах можно показать, что вблизи концов цепочки даже
положения равновесия атомов будут нарушены. Мы можем обойти эту
трудность, считая, что атомы образуют большое кольцо, так что последний
атом (л = N) опять находится на расстоянии а от первого (п- 1). Ясно, что
при больших N свойства такой циклической цепочки не будут заметно
отличаться от свойств цепочки с незамкнутыми концами. Разница будет
представлять собой специфический краевой эффект, который в случае
необходимости мы можем рассмотреть отдельно. Соотношение (1.7) для кольца
является строгим, однако смещения должны подчиняться условию цикличности
un+N = uw (1.14)
так как порядковые номера п и n-\-N относятся к одному и тому же атому.
Условие (1.14) вместе с выражением (1.12) показывает, что
е*(Ха _ 1 . (1.15)
Таким образом, / равно 2-/Na, умноженному на целое число.
§ 5. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ. КЛАССИЧ. МЕХАНИКА. ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПОЧКА 27
С другой стороны, ввиду того что / встречаются только в выражениях типа
е^па, ничто не изменится, если мы добавим к / величину, кратную 2it/а.
Следовательно, изменения / можно ограничить интервалом
"лв>
Очевидно, что число значений / в интервале (1.16), которые удовлетворяют
условию (1.15), равно N.
Рассмотрим теперь частоту ш как функцию "волнового числа(r) /. Для частного
случая /= 0 функция о>а тоже равна нулю. Это следует из соотношения
(1.13), если иметь в виду условие (1.8). Так как, согласно (1.13), ша
есть четная функция от /, то ее разложение для малых / будет в общем
случае начинаться с члена, пропорционального /а. Таким образом, для малых
/ частота to пропорциональна |/|. Это означает, что в том случае, когда
длина волны велика по сравнению с а, колебания представляют собой волны,
распространяющиеся с постоянной фазовой скоростью.
Мы знаем, что для любого значения / величина toa положительна, т. е.
величина to действительна. Иначе существовало бы решение, для которого
выражение (1.9) увеличивалось бы экспоненциально со временем, т. е. в
котором смещение относительно положения равновесия неограниченно
возрастало бы. Это просто свидетельствовало бы о том, что равновесие
неустойчиво, или иначе говоря, состояние, с которого мы начали, не было
правильным устойчивым равновесным состоянием системы.
Особенно простой случай - это случай пренебрежимо малого взаимодействия
между любыми двумя атомами, кроме ближайших соседей. В этом случае легко
