Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пайерлс Р. -> "Квантовая теория твердых тел" -> 11

Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.

Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел — М.: Иностранная литература, 1956. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdihtel1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 111 >> Следующая

величина
кратна 2it при произвольном п, описывают одно и то же нормальное
колебание.
Введем систему векторов К. подчиняющихся условию
для любого п. Эти векторы также образуют решетку [очевидно, что любая
сумма векторов, удовлетворяющих (1.28), тоже будет удовлетворять этому
условию]. Эта решетка известна под названием обратной решетки. Она
зависит только от трансляционной группы исходной решетки, но не зависит
от структуры элементарной ячейки.
Для простой кубической решетки обратная решетка также является простой
кубической с постоянной решетки, равной 2к/а, как это легко видеть из
условия (1.28), если в него подставить три базисных трансляционных
вектора.
В качестве другого примера рассмотрим кубическую объемно-центрированную
решетку. Здесь
где п1, п2, п3 или все четны или все нечетны. В этом случае (1.28)
означает, что для любого возможного набора чисел п сумма К^п^ -\- К2п2-\-
КдПд равна 4it/а, умноженному на целое число.
Рассмотрим следующие значения nv п2, п3: (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2);
мы видим, что каждая из компонент К должна быть кратной 2it/а. Кроме
того, в случае n = (l, 1, 1) видно, что А'1+А'24-А'3 должна равняться
2%/а, умноженному на четное число. Мы получаем окончательный результат
(*'-f)-a*
(1.28)
(1.29)
где xlt х2, х3 - произвольные целые числа, сумма которых четна. Таким
образом, решетка, обратная кубической объемноцентриро-
i 6. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ 31
ванной решетке с постоянной а, есть гранецентрированная кубическая
решетка с постоянной 4it/а. Наоборот, решетка, обратная
гранецентрированной, есть объемноцентрированная кубическая решетка.
Возвращаясь к определению f, мы видим, что два вектора, отличающиеся на
вектор обратной решетки, являются эквивалентными. Теперь мы выберем из
всех векторов f тот, который имеет наименьшую абсолютную величину.
Значения f, выбранные в соответствии с этим условием, будут находиться в
области f-пространства, определенной следующим образом. Проведем в
обратной решетке линии из начала координат ко всем соседним узлам
решетки. Далее, проведем плоскости, которые перпендикулярны к этим линиям
и делят их на две равные части, причем каждый раз будем отбрасывать то
отделяемое соответствующей плоскостью полупространство, которое не
содержит начала отсчета. Такое построение в конце концов приведет нас к
многограннику, который мы назовем основной ячейкой обратной решетки. Этот
многогранник содержит все отобранные нами значения f.
В простой кубической решетке основная ячейка представляет собой куб с
ребром 2it/а, в объемноцентрированной решетке - правильный додекаэдр.
Подытоживая, мы замечаем, что нормальные колебания решетки могут быть
представлены как бегущие волны вида (1.24), где f - вектор, находящийся в
пределах основной ячейки обратной решетки. Плотность разрешенных значений
f равна V7(2it)3. Для каждого заданного f имеется Зг различных типов
колебаний, соответствующих различным решениям системы (1.25), в общем
случае с различными частотами to. Мы обозначим эти решения через v^(f,
s), а соответствующие частоты - через u>(f, s), где s=l, 2, ..., Зг.
В наиболее общем случае движение атомов может быть выражено, как
суперпозиция таких колебаний [см. (1.17)]:
"у. а = S qt. • (0 (*> s), (1.30)
f, 8
где нормальные координаты q удовлетворяют уравнению
%. + ["(*. s)lVe = 0. (1.31)
В некоторых случаях удобно разделить qt, s на части, одна из которых
имеет временную зависимость вида (1.24) с положительной, а другая - с
отрицательной частотой. В результате упругие волны разделятся на волны,
распространяющиеся в противоположных направлениях. Мы напишем
где
-s),
Q(f, s) - -/o>(f, s)Q(i, s).
(1.32)
(1.33)
32 ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
с условием, что to(f, s) отрицательно, если s отрицательно. Отсюда
следует
Последнее уравнение справедливо как для положительных, так и для
отрицательных &. Вместо 3Nr переменных q и их временных производных могут
быть использованы 6Nr переменных Q. Чтобы избежать произвола, мы введем
обозначение о вместо s во всех суммах, взятых как по положительным, так и
по отрицательным значениям s, т. е.
Здесь будет удобно привести ряд математических и физических соотношений,
которые понадобятся в дальнейшем. Во-первых, из (1.26) очевидно, что
и, следовательно, при изменении направления f на обратное коэффициенты в
(1.25) переходят в комплексно-сопряженные величины. Таким образом,
решение для -f будет иметь вид
так что условие действительности для смещений атомов и в соответствии с
соотношением (1.3Э) имеет вид
что аналогично соотношению (1.19). Следовательно, согласно формуле (1.34)
имеем
Различные нормальные колебания ортогональны друг к другу в том смысле,
что
за исключением случая f = f', s = s'.
Чтобы доказать это, предположим сначала, что f Ф V. Тогда суммирование по
п приводит к множителю
Q(f, s) = - <2Ыs) [g(f, s) /(в(f, s)q(i, s)]. (1.34)
(1.35)
§ 7. Свойства нормальных колебаний
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed