Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ответ может оказаться совершенно очевидным. Например, в кубической
решетке, если вектор f направлен вдоль одной из главных осей, то векторы
v в решении уравнения (1.25) должны быть направлены параллельно либо той
же самой оси, либо параллельно одной из двух других. Последним двум
случаям соответствует одна и та же частота. Если же направление f
совпадает с пространственной диагональю куба, то вектор V либо
параллелен, либо перпендикулярен к f; в последнем случае частота не
зависит от ориентации V. Если вектор f направлен вдоль диагонали грани,
то вектор v опять может быть либо параллелен, либо перпендикулярен к
нему. Но в последнем случае двум направлениям, перпендикулярным к вектору
f (лежащему в плоскости, параллельной грани и нормальному к ней),
соответствуют разные частоты.
Другой случай, для которого легко найти решение, - это случай бесконечной
длины волны: f = 0. Мы замечаем, что при f==0 уравнения (1.25) имеют
решения для частоты, равной нулю. Эти решения представляют собой
одинаковое перемещение всех атомов в одном и том же направлении, так что
вектор один и тот же для всех у. При этом правая сторона уравнения (1.25)
равна нулю,
36 гл. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
так как вследствие (1.22) и (1.26)
2в*ио) = о.
з'
Поскольку направление v остается произвольным, то имеется три независимых
решения такого рода. Для простой решетки с г = 1 это единственные решения
с { = 0. При f Ф 0 имеется еще Зг-3 решений с большими частотами. Они
представляют собой колебания, в которых смещения соответствующих атомов в
различных элементарных ячейках одинаковы, но атомы в одной ячейке
движутся относительно друг друга. Из ортогональности этих колебаний с
колебаниями нулевой частоты легко видеть, что в случае г= 2 (например,
щелочно-галоидные соли) два атома в элементарной ячейке должны при таких
колебаниях перемещаться в противоположных направлениях.
Теперь рассмотрим случай малых, но конечных f. Решения в этом случае
будут лежать близко к тем, которые получаются для f ^О1), иначе говоря,
всегда имеется три типа колебаний с малыми частотами; хотя для г > 1
существуют также Зг - 3 типа колебаний с высокими частотами.
Низкочастотные колебания для малых / представляют собой звуковые волны в
кристалле. Так как для /= О смещения всех атомов в элементарной ячейке
одинаковы, очевидно, что для малых / они все еще будут примерно равны
друг другу. Три различных решения, соответствующие данному малому f,
будут различаться направлением этого общего смещения. Мы можем поэтому
говорить о звуковых волнах с тремя различными поляризациями.
Как известно, в изотропной среде звуковые волны могут быть продольными
или поперечными, причем для данного направления распространения обе
поперечные волны имеют одинаковую скорость, которая, однако, меньше
скорости продольной волны.
В анизотропном кристалле эти три направления в общем случае не являются
ни продольными, ни поперечными, и им соответствуют три разные скорости.
Для специальных случаев положение упрощается. Например, если в кубическом
кристалле f направлено вдоль главной оси, то из условий симметрии
следует, что решения (1.25) для малых f приближенно соответствуют одному
продольному и двум поперечным колебаниям и что частоты двух последних
одинаковы.
Разложим значения ш2, для которых (1.25) имеет решения, по степеням f.
Постоянный член исчезает, так как для f = 0 мы имеем <о2 = 0. Линейный
член также исчезает, ввиду того что, согласно (1.32), f и -f должны
соответствовать одной и той же частоте. Следовательно, главный член ш'2
должен быть пропорционален /2.
1) За исключением случая "оптических" ветвей ионных кристаллов (см. гл.
3, § 1).
§ 8. ЗАМЕЧАНИЕ ОБ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ
37
Таким образом, для любого заданного направления и заданной поляризации
частота <о пропорциональна волновому вектору f и их отношение- скорость
звука - не зависит от длины волны, хотя, конечно, зависит от направления
и поляризации. Из самого способа, с помощью которого получен этот
результат, ясно, что он пригоден только в предельном случае длинных волн.
Именно в этой области применима теория упругости, и, действительно,
знание скорости звука эквивалентно знанию упругих постоянных.
§ 8. Замечание об упругих постоянных
С логической точки зрения обсуждение проблемы упругости должно было бы
предшествовать рассмотрению колебаний, но нам было удобнее ввести наши
обозначения с помощью общей задачи о колебаниях.
Фигурирующие в (1.20) общие силовые константы А, которые предполагаются
известными, должны определять упругие постоянные кристалла. Упругой
деформацией называется такая деформация, при которой смещение мало
меняется от ячейки к ячейке, т. е. ify,n является медленно меняющейся
функцией п. Однако. зависимость смещений от J в общем случае будет
сложной. При деформации кристалла различные атомы в элементарной ячейке
будут перемещаться различным образом.
В общем случае это означает, что опять надо решить систему уравнений типа
