Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
значения; Q(f, s) имеет отличные от нуля матричные элементы только в том
случае, когда переход совершается от состояния, характеризуемого
квантовым числом N(U s), к состоянию, в котором N(f, s) возрастает на 1,
в то время как все остальные квантовые числа остаются неизменными. Эти
матричные элементы равны
{N\Q(i,s)\N+l) = (N+l\<?(f,s)\N) =
Vi
S 9. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
41
Из условия действительности вторая из этих величин является также
матрицей для Q( - f, -s). Мы можем отказаться от ограничения, что s
принимает лишь положительные значения, если мы определим также квантовые
числа для отрицательных s с помощью соотношения
N(-f, -о) = - AT(f, о)-1. (1.64)
С этим определением формула (1.63) применима как для положи-тельных, так
и для отрицательных значений а.
Энергия кристалла, которая, очевидно, является суммой кинетической и
потенциальной энергий, принимает вид
Я"2Е[Л'<|*(r)> + т]й(r)(,*(r)> + */о. (1-65)
f 8
что соответствует известной формуле для осциллятора. Член 1/2 в скобках
представляет "нулевую* энергию, наличие его обусловлено тем
обстоятельством, что даже в состоянии с самой низкой энергией атомы не
могут находиться в точности на своих положениях равновесия, так как
точная локализуя вызвала бы большую неопределенность в их скоростях и,
следовательно, привела бы к большой кинетической энергии.
Вместо того чтобы говорить об осцилляторе (f, s) в N(f, s)-m возбужденном
состоянии, мы можем рассматривать N(f, s) колебательных квантов с
волновым числом f и поляризацией s. Эти кванты, называемые "фононами*,
можно сопоставить звуковым волнам, точно так же, как световые кванты -
фотоны можно сопоставить световым волнам.
Применяя несколько формальное определение (1.64), мы можем записать
энергию в более симметричной форме:
о)' <1>66>
t а
где а принимает как положительные, так и отрицательные значения. Однако
простота этой формулы обманчива, так как она оставляет в тени тот факт,
что из всех входящих в нее квантовых чисел лишь половина является
независимой.
Глава 2
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
§ 1. Теплоемкость
Если кристалл находится в тепловом равновесии при температуре Т, то, как
известно, вероятность квантового состояния с энергией Е равна е~^Е, где
P = (2-0
a k - постоянная Больцмана. Отсюда и из формулы (1.65) следует, что
средняя энергия каждого осциллятора равна
(я+й
Е (f. s) = в. (f, s) Г N(f, ") + 1 =
N=О
-? In У = I "" + -= Л ".cth (Цы\ (2.2)
д$ ЛЛ 2 ' е9Лш - 1 2 ч 2 ^ / 1
черта над величиной здесь и в дальнейшем обозначает статистическое
среднее. Энергия всего кристалла равна
Е = Uq-\-Ez~\~ Ет,
где Ez - нулевая энергия,
?2=2тЙ(о(1, s)' (2>3)
г, в
а Ет-тепловая энергия,
= <2'4>
Г, в Г, a
Вычисление суммы (2.4) в общем случае очень сложно и требует знания вида
зависимости частоты от f и s.
Однако в предельных случаях высоких и низких температур можно произвести
некоторые дальнейшие вычисления. Рассмотрим
I 1. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
43
сначала температуры столь высокие, что для всех колебаний
s)C kT.
В этом случае выражение под знаком суммы в (2.4) можно разложить в
степенной ряд. Три главных члена такого разложения имеют вид
?r=Sj{1-TPfi"^ *) + т?[Р"(r)№ s)]9- • ¦ • } =
f.S
-=S{*7'-5-^(f.s) + ^-^[Ao)(f, s)]3-...}. (2.5)
f.s
При суммировании первого члена получается величина ZrNkT, что в точности
совпадает с классическим результатом для системы с ZrN колебательными
степенями свободы. Второй член сокращается с нулевой энергией, так что
при высоких температурах не только теплоемкость, но и энергия
асимптотически приближается к классическому результату. Третий член,
который исчезает при бесконечном Т, дает меру отклонения от классического
результата и является величиной второго порядка по отношению к квантовой
постоянной Ь. Это весьма общее свойство квантовой статистики. Для оценки
третьего члена надо иметь некоторое представление о колебательном
спектре. Однако для этого не нужно решать уравнения (1.25), так как сумму
квадратов частот можно непосредственно выразить через коэффициенты
уравнения.
Действительно, из соотношений ортогональности, найденных в гл. 1, § 7, и
из (1.25) легко вывести, что
s) 1а = 2 Ж'*" W -Ж7 (0)- <2-6>
f.B j, t * j S
Последняя сумма имеет довольно наглядную интерпретацию: она представляет
собой сумму значений потенциальной энергии, получаемых при поочередном
перемещении всех атомов кристалла в каждом из координатных направлений на
бесконечно малые расстояния, деленных на произведения квадратов
перемещений на половину массы атома.
Ряд (2.5) можно было бы продолжить. При этом оказалось бы, что он
содержит только суммы четных степеней частот; все их можно выразить через
силовые константы с помощью соотношений, аналогичных (2.6). При этом,
однако, из последнего равенства в (2.2) видно, что если для некоторых
частот йи> > vkT, то ряд по степеням р перестанет сходиться.
В противоположном предельном случае низких температур было бы неправильно
