Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Iх Проекция электронного спина 191 Гл. 8, § 2
V Общий номер координаты атома 34
Р Плотность
Р Поверхностная плотность электрон- 138 Гл. 6, § 1
ных состояний
9 Номер бегущей волны решетки 32
9 Проводимость
X Время столкновений 137
* Скалярный потенциал Гл. 10, § 4
9 Общий номер нормальной коорди- 34 Гл. 1
наты
9 (г) Атомная волновая функция Гл. 4, § 2,
н гл. 8
ф Электронная волновая функция 95
ш Частота
""(i S) Частота колебаний решетки 31
Q Ларморова частота 168 Гл. 7
Глава 1
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Введение. Примеры структур
Под твердым телом мы обычно подразумеваем вещество, которое обладает
некоторой жесткостью по отношению к сдвигу. Обычно такие вещества имеют
кристаллическую структуру. В этой книге мы ограничимся рассмотрением
только кристаллических твердых тел. При этом исключаются из рассмотрения
стекла, и я не буду обсуждать вопрос о том, правильно ли рассматривать
стекла как твердые тела и какие из наших результатов к ним применимы
(если это вообще имеет место).
Кристаллическую решеткумож;ю построить путем периодического повторения
"элементарной ячейки", которая может состоять из одного или нескольких
атомов. Вектор, проведенный из некоторой точки одной элементарной ячейки
в соответствующую точку другой, называется "вектором решетки". Он может
быть представлен как линейная комбинация с целочисленными коэффициентами
небольшого количества базисных векторов решетки. Совокупность векторов
решетки определяет ее "трансляционную группу". Решетки с одинаковой
трансляционной группой различаются видом элементарных ячеек, простейшая
из которых содержит только один атом. Поэтому трансляционная группа часто
характеризуется названием простейшей относящейся к ней решетки.
Я не буду пытаться дать здесь полный список даже наиболее важных типов
решеток, но приведу несколько примеров, которые будут потом использованы
в качестве иллюстрации.
Мы начнем с кубических решеток, которые мы определим как решетки, не
меняющиеся при повороте на 90" вокруг любой из трех взаимно
перпендикулярных осей. Отсюда ясно, что проще всего определять базисные
векторы по отношению к этим кубическим осям.
а) Простая кубическая решетка. Элементарная ячейка содержит один атом,
базисными векторами являются три вектора равной длины а, направленные
вдоль трех кубических осей. Иными словами, если направить оси
прямоугольных координат вдоль этих осей, можно представить базисные
векторы в виде
(а, 0, 0), (0, а, 0), (0, 0, а).
14 ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Положение любого узла по отношению к некоторому фиксированному дается в
общем случае выражением
где пи п2, п3- любые целые числа (положительные, отрицательные или равные
нулю).
б) Объемноцентрированная кубическая решетка. Элементарная ячейка содержит
один атом. Базисные векторы равны
(а, 0, 0), (0, а, 0), (0, 0, а), а, у а, у а).
Очевидно, что при увеличении вдвое последнего вектора получается вектор,
равный сумме трех первых, так что в общем случае узел кристаллической
решетки определяется либо как
(ге1а, п2а, п3а),
либо как
(("1+|)а. (я2 + у)". (гез + 4)а)-
Первая группа узлов образует простую кубическую решетку; вторая содержит
центры всех кубов, образованных соседними узлами первой группы; отсюда и
происходит название этого типа решетки.
Можно рассматривать эту решетку как имеющую трансляционную группу простой
кубической решетки и содержащую два атома в эле-ментарной ячейке; иногда
это более удобно. Но при этом остаются в тени важные соотношения, так как
создается впечатление, что расстояние между двумя атомами в элементарной
ячейке произвольно, тогда как для сохранения кубической симметрии решетка
должна быть в точности такой, как описано выше.
в) Гранецентрированная кубическая решетка. Элементарная ячейка содержит
один атом. Базисные векторы равны
(а, 0, 0), (0, а, 0), (0, 0, а), (у а, у а, о),
('2'а> °* Т а)' (°* ~2а' та)*
В общем случае узел решетки дается одним из следующих выражений: либо
("!", п2а, п3а), либо ((rei + у)а* (гег+у) а> геза)>
либо (Jnt а, п2а, (п3 -|-yj а), либо (п^а, (п2 -|-у) a, (re8-f у) аУ>
или, представляя это в иной форме,
и^а, у п2а> у Ajflj,
g 1. ВВЕДЕНИЕ. ПРИМЕРЫ СТРУКТУР
15
где "j, п2, пз - целые числа, причем либо одно из них, либо все три
четны, т. е. "i+"2+res четно. Эта решетка состоит из простой кубической и
центров граней каждого куба. Она обладает тем свойством, что при заданном
расстоянии между соседними узлами число узлов, приходящееся на единицу
объема, является наибольшим. Такая структура называется "плотной
упаковкой", поскольку ей соответствует равновесная конфигурация из плотно
уложенных твердых шаров.
Этими тремя решетками исчерпывается кубическая трансляционная группа.
г) Простая гексагональная решетка. В элементарной ячейке содержится один
атом. Из базисных векторов решетки два вектора представляют собой стороны
равностороннего треугольника, а третий направлен под прямым углом к
