Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости первых двух. В компонентах по прямоугольным осям эти векторы
имеют вид
Отношение Ь/а не ограничивается условиями симметрии. Расположение узла в
общем случае дается выражением
где пх, "2" пг - целые числа (положительные, отрицательные или равные
нулю), причем п1 и п2 либо оба четны, либо оба нечетны.
В качестве важного примера решетки, в элементарной ячейке которой
содержится более одного атома, можно рассмотреть решетку типа NaCl. Это
простая кубическая решетка, в которой узлы попеременно заняты
соответственно положительными и отрицательными ионами (например, Na+ и Cl
). Так как последние не идентичны, трансляционная группа содержит только
те переносы, которые ведут от положительного иона к другому
положительному, иону. Легко видеть, что эта трансляционная группа
совпадает с трансляционной группой гранецентрированной кубической
решетки, период которой равен удвоенному периоду простой кубической
решетки, образованной всеми ионами.
Следовательно, элементарную ячейку можно считать состоящей из одного
положительного иона, расположенного в (0, 0, 0), и одного
отрицательного иона, расположенного в (-^а> О" о)! трансляционная
группа совпадает с трансляционной группой гранецентрированной решетки,
которая была описана выше.
или, в ином виде
16
ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Это дает следующие выражения для положений узлов:
(-j "jfl, -j пга, геза) - Д(tm) положительных ионов,
(4" (rei + 1)а* y у "3в) - для отрицательных ионов,
опять с тем же ограничением, что сумма ni-\-n2-\-nz должна быть четной.
Вторая совокупность узлов может быть описана той же формулой, что и
первая, причем сумма ("! + л2 + пг) должна быть нечетной. При этом
очевидно, что все ионы, вместе взятые, образуют простую кубическую
решетку с периодом а/2.
Хотя в этом случае элементарная ячейка содержит два атома, положение их
не произвольно, а ограничено условием кубической симметрии. Если бы
положительные ионы были сдвинуты относительно отрицательных, то возникла
бы структура с гораздо более низкой симметрией.
В качестве дальнейшего важного примера рассмотрим гексагональную плотную
упаковку. Она получается из простой гексагональной решетки, если
посередине между первоначальными плоскими треугольными сетками поместить
такую же треугольную сетку с узлами, расположенными между центрами
первоначальных треугольников.
Элементарная ячейка теперь состоит из атомов, расположенных в узлах
(О, 0, 0) и а, -g-Yba, jb).
Таким образом, общее выражение для положений узлов имеет вид (y"i°,
\пгУЪа, пф) или (1(П1+1)а, -^("2+у)^За, (%-f -у) ft).
Элементарная ячейка из двух атомов вводится по той причине, что
соединяющий их вектор нельзя рассматривать как вектор решетки, поскольку
его повторение не приводит к узлу, занятому другим атомом. Как и раньше,
любое изменение расстояния между атомами в элементарной ячейке при
неизменной трансляционной группе уменьшит симметрию. Однако отношение b/а
продолжает оставаться произвольным. В случае, когда
А _/|=|.в32,
каждый атом окружен двенадцатью соседями, расположенными на одинаковых
расстояниях от него. Это опять приводит к конфигурации, соответствующей
плотно уложенным твердым шарам, причем плотность имеет ту же самую
величину, что и в случае кубической плотной
I S. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ П
упаковки. Это свойство и определяет название решетки, но, вообще говоря,
если мы не имеем дело с твердыми шарами, то величина отношения Ь\а не
играет сколько-нибудь существенной роли.
Этих примеров достаточно для иллюстрации описания решеток. В общем случае
для описания структуры элементарной ячейки, содержащей г атомов, мы
должны перечислить их положения1)
dp d2, ..., dr
по отношению к некоторому началу отсчета в ячейке. Кроме того, мы должны
перечислить векторы решетки а"> где индекс п, как и в приведенных выше
примерах, обозначает совокупность чисел. Общая формула, описывающая
положение узла решетки, тогда имеет вид
d^+a". (1*1)
Иногда удобно выбрать ячейку большей, чем это необходимо, чтобы все
трансляционные векторы были равны целочисленным комбинациям трех базисных
векторов и узлы решетки задавались выражением
d^-f- л1а1 -|- л2а2 ~Ь лз^з> (1*2)
где п1( "2> пг - произвольные целые числа. Например, в объемно-
центрированной кубической решетке, описанной выше, at, а2 и а3
представляют собой векторы длиной а в направлении координатных осей и
dj = (0, 0, 0), dj = ^ в, ~2а'> "2" ^0*
§ 2. Динамическая задача. Адиабатическое приближение
Теперь мы обратимся к вопросу о силах, которые удерживают атомы в узлах
или около узлов правильной кристаллической решетки. Для этого нам надо
прежде всего найти переменные, с помощью которых может быть
сформулирована эта задача.
Атомы, образующие твердое тело, состоят из ядра и электронов. Для
описания состояния твердого тела не нужно, однако, определять состояние
всех Z электронов каждого атома, так как мы можем исключить большинство
