Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ъ.г (-f)=e;,^(f).
v^(-f, S) = Vj(f, s),
(1.36)
*
(1.37)
Я-t, a - ЯЬ a >
Q(-f, - a) = Q*(f, a).
(1.38)
i *
5 = 2ei(r_f)'s"-
(1.40)
И
; 7. свойства нормальных колебаний
33
Эта сумма равна нулю, что можно показать следующим образом. В выражении
для 5 суммирование распространено на всю решетку. Теперь предположим, что
каждый из узлов сместился, скажем, на а, где а - какой-то вектор решетки.
Это приводит к тому, что каждый узел кристалла переходит в другой узел (в
соответствии с определением векторов решетки) и поэтому дело сводится к
изменению обозначения членов суммы. Таким образом, сумма не должна
измениться. С другой стороны, каждый член суммы умножается на и>
следовательно, вся сумма при смещении узлов умножается на эту величину.
Таким образом,
Это означает, что либо S = 0, либо (f'- f) • а кратно 2гс, так как а
может быть любым вектором решетки. В силу определения (1.28), это
показывает, что 5 должно равняться нулю, если только f'- f не Является
вектором обратной решетки, и, следовательно, f и f эквивалентны.
Остается обсудить случай, когда в (1.39) f = f'. В этом случае сумма по п
дает число N элементарных ячеек в кристалле и (1.39) становится равным
N'EM/jd, s)-Vj(f', s).
i
Тепрь легко доказать, что эта сумма равна нулю, если to (f, s)=?^=
to (f', s'). Действительно, умножим уравнение, комплексно-сопряженное
уравнению (1.25), Hav^(f', s') и просуммируем по j, а потом вычтем
соответствующую величину, в которой f заменено на -f, s переставлено с
s', и в правой части j переставлено с j'. Правая часть при этом окажется
равной нулю в силу соотношения (1.21), а в левой требуемая сумма
умножается на to-3 - ю'2. Есл1Гпри заданном f одной и той же частоте
соответствует более одного нормального колебания, то vj(f, s) определено
неоднозначно, так как система линейных однородных уравнений (1.25) имеет
несколько независимых решений. В этом случаемы можем, как всегда, выбрать
основную систему решений так, чтобы удовлетворить условию (1.39).
Значение суммы (1.39) в том случае, когда f = f', s = s', мы можем
выбрать любым образом, так как характеристическое уравнение (1.25)
определяет с точностью до общего постоянного множителя. Для нормировки
решений мы можем выбрать условие
2^|v,(f, s)|-=M(c).
J
где М(с) - масса элементарной ячейки. При этом мы можем условие
ортогональности и нормировки записать одним уравнением
22^№(f, S)eif-"nf • [v,(f', s')eir-14 = 3WJ?>3frS^, (1.41)
3 n
34
ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
где M-N) = NM((?> - масса всего кристалла из N элементарных ячеек, a 8fr
- обычный символ Кронекера, т. е. единица, когда f -f', и нуль в
противном случае.
Содержание уравнений типа (1.41) несколько неясно благодаря большому
количеству переменных, и поэтому имеет смысл употреблять, где
можно, сокращенные обозначения. Для этой цели мы
будем применять символ v вместо n, j и трех пространственных
направлений и <р вместо f и s. Тогда, если t>v(?)- одна из компонент
Vj(f, s) eit an, то мы можем записать (1.41) в виде
2 М 4v* (?) v4 (?') = Л4(г\9г. (1-42)
V
Таким же образом мы можем написать наиболее общую форму возмущения в виде
", = 2?(?)*,(?)' (1-43)
9
Отсюда и из (1.42), как обычно, следует, что
2 (?)",• (1-44)
V
Подставляя (1.44) в (1.43), мы найдем
ф ыг
Так как для произвольного возмущения правая сторона должна быть
тождественно равна левой, то мы находим "соотношение полноты*
2 (?) v*' (?) - 71" ' (1 • 45>
9
которое, как известно, является также прямым алгебраическим следствием
(1.42), если только число возможных значений <р совпадает с числом
значений v. (В нашем случае число значений каждой из этих величин равно
3rN.)
Мы напишем для удобства дальнейших ссылок выражение для полной
кинетической энергии:
V V
которое, согласно (1.43), принимает вид
r=i-Al(jr)2l^?)|2 = TAlWS^(f' s)|2- (L46)
<р ft S
2 ^ (?)%(?') <7* (?)?(?')>
9. 9'
§ 7. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
35
В последнем выражении мы вернулись к записи в явной форме. Таким же
образом мы могли бы преобразовать потенциальную энергию, но ее вид
можно определить сразу, исходя из того, что уравнение движения имеет
форму (1.31). Для этого необходимо, чтобы
U - U0=*j М(У) J] [" (f, s)]21 q (f, s) I2. (1.47)
f, a
Наконец, с помощью формул (1.32) и (1.33) мы можем ввести переменные Q и
найти полную энергию
т-\-и-1/0-м(r) 2 211 Q(f> s)l2 + |Q(f> - *)l9H"(f. s)Ia=
t a
= Al(r)22|Q(f, o)|2[0>(f, o)]9. (1.48)
f "
В последнем выражении сумма распространяется на положительные и
отрицательные о, согласно условию (1.35).
Фактическое решение системы (1.25) и определение нормальных колебаний и
частот очень трудно, даже если известны коэффициенты А и G, зависящие от
сил взаимодействия в кристалле. Даже при г = 1 для каждого значения f
пришлось бы решить систему из трех уравнений, соответствующих трем
компонентам v. Однако для частных случаев, например, если вектор f
направлен определенным образом по отношению к осям симметрии кристалла,
