Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
видеть, что Л(/) = 0, за исключением значений / = 0 или rtl. Из (1.7) и
(1.8) следует
Л(1) = Л(-1) = -1л(0),
так что
Л1(оа = А (0) (1 - cos fa),
( 2А (0) \1/s I . fa
Ш=[-М1) j Sln ~2
Из полученных таким образом решений мы можем построить теперь общее
решение первоначального уравнения (1.6).
Положим
ип=^^дге^па, (1.17)
где суммирование ведется по всем значениям /, удовлетворяющим условию
(1.15). Тогда уравнения движения для любого qf имеют вид
5г + (r)а(/)^ = °- <1л8)
28
ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
Таким образом, величины qf действительно являются нормальными
координатами. В общем случае они будут комплексными и, чтобы быть
уверенным, что ип действительно, мы должны погребозать выполнения условия
где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина. Таким образом,
только половина из N переменных qf является независимой, но так как
каждая из этих переменных комплексна и содержит две действительных
переменных, то количество степеней свободы будет именно таким, каким
нужно. [Для большей точности можно отметить, что из (1.19) следует
действительность q0 и qK/a, но эти величины не зависят от других
координат.]
§ 6. Колебания атомов. Классическая механика.
Общее решение
Распространим полученные выше результаты на более общий случай. Пусть
ti",^ - смещение атома, находящегося в узле той элементарной ячейки,
положение которой относительно начала отсчета определяется вектором ап-
Тогда вместо (1.5) мы имеем
U - U0 = ? • п'Ч?. nti-(-
Здесь А и В - тензоры соответственно второго и третьего рангов"
связывающие компоненты векторов и.
Относительно величин А опять можно заметить, что в соответствии с
определением (1.20) они симметричны по индексам и зависят только от
относительных положений элементарных ячеек1):
Одинаковое смещение всех атомов в любом заданном направлении, так же как
и раньше, не приводит к изменению А:
(1.19)
(1.20)
Aj, и, j',n' - А,., (За За') - (За' За). (1-21)
2 2 Ау,}' ((r)а - За') - 0.
л' 4'
a' j
(1.22)
!) Второе из равенств в (1.21) и некоторые из приведенных далее
соотношений имеют место только для таких решеток, в которых положение
каждого атома является центром симметрии решетки.
5 6. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ 29
Уравнения движения имеют вид
MjUj, а= - 2 2 Ay, j' (Зц За') Uj', n' > (1 -23)
j' и'
где Mj - масса атома, находящегося в j-м узле элементарной ячейки.
Мы опять будем отыскивать нормальные колебания, причем, как и ранее,
используем соображения о том, что нормальные колебания или сами по себе
обладают тем Свойством, что при любой трансляции умножаются на постоянный
множитель, или могут быть выбраны так, чтобы это условие выполнялось.
Поэтому соотношение, аналогичное (1.9) и (1.12), будет иметь вид
= (1.24)
где f в данном случае является вектором, a Vj представляет собой смещение
у-го атома в элементарной ячейке п = 0 в момент времени f = 0.
Подставляя это в (1.23), найдем
Mptoj = 2 Gj.f (f)ty, (1.25)
где
Bj,r (f) = 2 Aj,r (an) (1.26)
Последние два выражения являются аналогами выражения (1.13). Однако в то
время как выражение (1.13) давало явное решение задачи, уравнение (1.25)
представляет собой Зг однородных линейных уравнений для Зг смещений г
атомов в элементарной ячейке. (Следует помнить, что v является вектором,
a G - тензором.) Эти уравнения имеют решения только в том случае, если
детерминант системы равен нулю. Последний является полиномом Зг-й степени
относительно to3 и в общем случае имеет Зг корней. Опять можно заключить,
что все эти корни должны быть действительными и положительными; обратное
означало бы, что исходное состояние не было состоянием устойчивого
равновесия.
Для отбора правильных значений f мы опять вводим условие цикличности,
аналогичное условию (1.14), хотя в рассматриваемом случае такому условию
уже нельзя дать простой физической интерпретации. Основанием для такого
выбора является то, что при этом получается система с правильным числом
степеней свободы, отличающаяся от реального кристалла только
поверхностными эффектами. Мы предположим, что кристалл является
прямоугольным параллелепипедом с ребрами длиной Lv L%, L3, направленными
вдоль трех координатных осей. Тогда из условия цикличности следует
gif- gifа^я - gifa-^a - J (
(1.27)
30
ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
так что компоненты f должны быть действительными и кратными
соответственно 2^/Ll, 2tz/L2, 2it/L3. Фактические значения f не
представляют существенного интереса, так как их точная величина
определяется условием цикличности на границе, но из (1.27) можно сделать
важное заключение о том, что разрешенные значения f равномерно
распределены по /-пространству и что плотность их равна L1L2L3/(2it)3, т.
е. V/(2it)3, где V - объем.
Далее мы потребуем, чтобы выполнялось условие, аналогичное условию
(1.16). Вектор f встречается только в комбинации егГЛл, где ап - вектор
решетки. Следовательно, любые два вектора f и f', связанные условием, что
