Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
(1.25); однако мы не станем подробно обсуждать эту задачу.
Положение оказывается простым, если мы имеем дело либо с простой решеткой
(г = 1), либо с решеткой (например, типа NaCl), в которой относительные
расположения двух частиц в элементарной ячейке определяются соображениями
симметрии даже в том случае, когда кристалл упруго деформирован. Я
рассмотрю только случай г = 1.
Сначала для уяснения задачи рассмотрим линейную цепочку. Мы оценим
квадратичный член в энергии (1.5), который, согласно соотношению (1.7).
может быть записан в виде
у-у0=}ЦЛ(0в""^ <L49>
п, I
Здесь мы можем рассматривать г как непрерывную функцию /, которую можно
разложить в ряд Тэйлора:
у-у"=т22'4(r)"*(""+й,+'!з1',+ ---)- о-50"
п I
Теперь просуммируем почленно это выражение. Первый член ряда в скобках
ввиду условия (1.8) не дает вклада в сумму. Второй член
38
ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
также ничего не дает ввиду того, что, согласно (1.7), А(1) является
четной функцией /. Итак, введя обозначение
= -(1.51)
г
получаем
iSf'-S' С-52)
п
Здесь сумма содержит лишь медленно меняющиеся величины, и мы можем
заменить суммирование интегрированием
Член, содержащий значения функций на границе, исчезает в силу условия
цикличности (1.14).
Соотношение (1.53) есть правильное выражение для упругой энергии линейной
цепочки, причем Е- упругая постоянная. Для случая, когда имеется
взаимодействие лишь между ближайшими соседями, (1.51) дает
Е = aA{\) = ~aA(fi).
Так как масса, приходящаяся на единицу длины, равна М/а, то скорость
звуковых волн дается выражением
л..... "М(0)
2М '
Это выражение для скорости звука, очевидно, совпадает с величиной to//
для малых /, вычисленной ранее.
Для трехмерного случая, с одним атомом в элементарной ячейке, мы можем
использовать такое же преобразование в формуле (1.20), что дает
= }{%%)**¦ 0.54)
JJ.VOT
Здесь каждое из p., v, о, т описывает три пространственные координаты и
принимает значения 1, 2, 3. Дифференциал <Рх представляет собой элемент
объема в трехмерном пространстве, а Е^" - коэффициент упругости, который
определяется формулой
(>-55)
где 0^(1) и а,(1) есть соответственно (i-я и v-я компоненты вектора
решетки aj, Ат - компонента о, т тензора A, v0 - объем элементарной
ячейки.
§ 9. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
39
Мы пока не использовали того факта, что полная потенциальная энергия,
очевидно, не изменится, если кристалл повернуть, не меняя его формы.
Чтобы удовлетворить этому условию, тензор Е должен быть симметричен
относительно индексов ц, в и v, т. Следовательно, энергию (1-54) можно
также записать в виде:
Полученное выражение представляет собой более обычную форму записи
упругой энергии в виде квадратичной функции компонент деформаций.
Благодаря симметрии кристалла многие коэффициенты тождественно равны друг
другу; в случае кубического кристалла, как известно, только три из этих
коэффициентов независимы.
Особый интерес представляет случай однородного всестороннего сжатия, для
которого
где 8^ - обычный символ Кронекера, as - относительное изменение объема.
Соответствующее увеличение энергии, согласно (1.54), есть
Отсюда мы можем найти объемный модуль (обратную сжимаемость), который
оказывается равным
Прежде чем применить наши результаты к практическим задачам, нам будет
удобно вывести соответствующие квантовомеханические уравнения, после чего
мы сможем получать в дальнейшем для каждой задачи как классический, так и
квантовый результат.
Как во всех случаях, связанных с гармоническим движением,
квантовомеханическое обобщение может быть произведено без труда, так как
основные уравнения (1.30) и (1.31) применимы и в этом случае. Отличие
заключается в том, что q и и следует теперь рассматривать как операторы.
Величины представляющие собой
координаты частиц с массой Mj, удовлетворяют перестановочным соотношениям
(1.56)
р., V о, х
(1.57)
§ 9. Квантовая теория
Iй"(У. *0> (.j I я)! - - ~M~j ^'ш'^^*59)
40
ГЛ. 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
где о и х опять определяют пространственные направления. В допол" нение к
этому каждое и коммутирует с любым другим и и каждое а - с любым другим
и.
Применяя (1.44), находим
\Ч* (?). Я (?')! = > 5м 2 М*М*' W v*' № К* аЛ
' V. v'
что, согласно (1.59), равно
и вместе с соотношением ортогональности (1.42) дает:
[?". = (1-60)
Это показывает, что ^(<р) и УИ<гГ) q* (<р) представляют собой канони-
чески-сопряженные переменные.
Отсюда получаются законы коммутации для Q (см. 1.34):
[Q(f, с). (Г(Г, = 3*г 8*. (1.61)
Эти соотношения вместе с уравнением движения
Q(f, а) = - Ju>(f, o)Q(f, о) (1.62)
определяют матрицы Q.
Последние могут быть получены сразу, если заметить, что соотношения
(1.61) и (1.62) для Q и Q*, за исключением масштабных
множителей, идентичны с соотношениями для $ = -j[a:-|-(1//u>).x:] и ?*,
где х-координата простого гармонического осциллятора. По аналогии мы
находим, что система описывается набором квантовых чисел N (f, s),
которые определены для положительных s и принимают целые неотрицательные
