Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
окончательной форме:
в
h l*<f' s; *'• s': s">la- (2-5i)
t. Г в."1, в"
Чтобы найти часть энергии, обусловленную членами четвертого порядка, мы
запишем последние в виде, аналогичном (2.49):
s: f'> s': r's"' r- (2-52>
Опять при усреднении сохраняются только те члены, в
которых
нормальные координаты попарно равны. Их можно сгруппировать
в пары тремя возможными способами; в виду этого мы получим
off 1 V с SI s> !'• S'! f'l (r)') /л co\
?r ?i ^ <f- s>0,3 s')'
56
ГЛ. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
Отсюда мы, как и раньше, заключаем, что коэффициенты c(f, s; ...) должны
стремиться к нулю, когда соответствующие волновые векторы стремятся к
нулю. Далее, те из коэффициентов, которые отличны от нуля, опять содержат
множитель, пропорциональный размеру кристалла. Следовательно, если ввести
определение
с (f, s; f', s'; f", s"; f'", s'") =
= M№u>(f. s) (r) (f', s') 0) (f", s")u>(f'", s'") X Xi(f+*' + f"+f'")c(f,
s; S'; f". s"; s'"), (2.54)
то коэффициент с не будет зависеть от размеров кристалла и, грубо говоря,
будет иметь неизменный порядок величины.
Доля тепловой энергии, обусловленная членами четвертого порядка, будет
иметь вид
Eq = - ^ 2 2 с (f, s; - f, s; - f', s'; s'), (2.55)
f. Г в, в'
т. е. опять имеет ту же температурную зависимость, что и (2.51). Можно
также показать, что оба члена имеют одинаковый порядок величины.
Полученные выражения легко можно представить и в обобщенной
квантовомеханической форме, но это не имеет смысла делать, так как в
области низких температур они не представляют интереса.
Соотношения (2.51) и (2.55) дают поправки к закону теплоемкости Дюлонга и
Пти в том случае, когда объем кристалла сохраняется неизменным и
соответствующим равновесному значению. В действительности кристалл будет
расширяться при увеличении температуры. Это даст еще один поправочный
член, который можно выразить через коэффициент температурного расширения
и упругие постоянные с помощью чисто термодинамических соображений. Я не
буду приводить здесь этот расчет.
§ 4. Теплопроводность
Мы видели, что тепловое возбуждение кристалла может быть описано в виде
волн, которые распространяются в кристалле со скоростями порядка скорости
звука и обладают способностью переносить энергию. Применяя известные
рассуждения кинетической теории газов, мы можем из соображений
размерности написать формулу
у. = if СсХ, (2.56)
где х - теплопроводность, С - теплоемкость на единицу объема, с -
скорость звука, X - средняя длина свободного пробега, у- численный
множитель,
g 4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
57
В гармоническом приближении волны перемещаются свободно без затухания и,
следовательно, имеют неограниченный свободный пробег. В действительности
их свободный пробег ограничен: а) ангармоническими членами, б)
загрязнениями и нарушениями правильности структуры кристалла и в)
конечными размерами, кристалла. Мы рассмотрим пока только первый эффект,
который доминирует в хороших и чистых кристаллах не слишком малых
размеров при не слишком низких температурах.
Для решения этой задачи мы сразу применим квантовую механику, так как
теперь интересен случай низких температур. Конечно, при этом в предельном
случае получится и классический результат. Теперь мы будем рассматривать
кубический член в энергии как малое возмущение и сможем записать его в
виде (2.39). Поскольку, как уже отмечалось, переменные Q, введенные в
соотношение (1.32), наиболее удобны для квантового рассмотрения, то мы
напишем
Ue=i 2 2 Ь&''If'.0':*". °")Q(f. (2.57)
f, г. f" (r).(r)', (r)"
где суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным
значениям а.
Рассмотрим теперь (2.57) как малое возмущение, которое вызывает переходы
между состояниями невозмущенной системы. Общее соотношение, дающее
вероятность перехода из некоторого начального состояния i в конечное
состояние / за единицу времени, имеет вид J)
d.Pi+ о-
-f =f К1\ис\/)\Ч(ЕГ-Е4). (2.58)
Здесь 5 - дельта-функция Дирака, и Е* - соответственно энергии начального
и конечного состояний, (/1 ив | /) - матричный элемент оператора (2.57)
для заданных состояний I и /. Как нам уже известно из соотношения (1.63),
при положительных а оператор Q имеет отличные от нуля матричные элементы
только для тех пар состояний, одно из которых отличается от другого
увеличением квантового числа на 1, а при отрицательных о -
соответствующим уменьшением одного из квантовых чисел на 1. Поэтому
каждый член в (2.57) описывает процесс, в котором три квантовых числа
меняются на единицу. Соответствующее изменение энергии равно
fi[u>(f, o)-|-<o(f', 0')4_u,(f", а")]. (2.59)
Согласно (2.58), чтобы процесс был возможен, эта сумма должна быть равна
нулю. Так как знак о> (f, о) совпадает со знаком о, то
I) См., например, раздел 89 в книге Шиффа [59]. (См. также § 43 в книге
Л. Д. Ландау и Б. М. Лифшица [79]. - Прим. перев.)
58 ГЛ. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
ясно, что числа о, о', о" не могут все одновременно быть положительными
