Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пайерлс Р. -> "Квантовая теория твердых тел" -> 25

Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.

Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел — М.: Иностранная литература, 1956. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdihtel1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 111 >> Следующая

статистической матрице плотности, то оно будет обозначать, что матрица
плотности должна быть диагональной по числам фононов. Я не буду давать
здесь формального доказательства непротиворечивости этого предположения,
т. е. того, что если матрица плотности диагональна в начальном состоянии,
то она будет диагональной и в более поздние моменты времени. (Это
доказательство основано лишь на предположении о большом числе фононов,
как это уже делалось раньше.) Я хочу, однако, подчеркнуть, что это
утверждение может быть правильным только в том случае, если мы выбрали
переменные, соответствующие рассматриваемой задаче. Например, в
определении нормальных колебаний мы могли бы выбрать стоячие волны (синус
и косинус) вместо движущихся волн. В этом случае состояние, в котором
имеется перенос энергии, можно было бы определить только с помощью
фазовых соотношений между синусоидальной и косинусоидальной волнами. Если
бы мы во всех уравнениях просто опустили все фазовые соотношения и,
следовательно, все недиагональные элементы, то пришли бы к заведомо
неверному заключению, что градиент температуры не имеет тенденции вызвать
поток энергии. В то же время мы были бы также не в состоянии понять
важность полного волнового вектора (2.63), среднее значение которого для
стоячих волн, естественно, равно нулю, поскольку действительная его
величина опять зависела бы от фазовых соотношений между различными
стоячими волнами.
Сделав эти замечания, рассмотрим число N(f, s, г) фононов в волновом
пакете с волновым вектором f, поляризацией s и координатой г. Изменение
этого числа, обусловленное движением фононов, равно
i S. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
65
если градиент направлен по оси х. Здесь vx есть х - компонента групповой
скорости, равная do>(f, s)jdfx.
При расчете изменения, обусловленного столкновениями, мы отметим, что
вероятность перехода (2.60) не зависит от размера кристалла, и,
следовательно, мы можем сохранить точный вид этой формулы, хотя теперь мы
имеем в виду локализованные волновые пакеты, что эквивалентно
рассмотрению меньшего кристалла. Действительно, величину изменения N(f,
s), обусловленного процессом, определенным в (2.60), с помощью (2.49)
можно записать в виде
- ТГМтИ X !*(*• s: *'• s") I2 <**>'">"8 (со + o' - ">") NN' (ЛГ+1).
Ш г" (2-67)
Здесь мы для краткости написали со, и/, и>" соответственно вместо <o(f,
s), со({', s'), o)(f", s") и N, N', N" соответственно вместо
N (I, s), N(f', s'), N(f", s"). Мы предположили также, что f" есть
решение (2.62) при заданных f и f'. Суммирование по f' теперь можно
заменить интегрированием. Мы видели раньше (см. гл. 1, § 6), что на
единицу объема в /-пространстве приходится У/(2тг)8 разрешенных значений
f, если V - объем кристалла. Так как этот объем связан с полной массой
соотношением
= pV,
где р - плотность, то мы получаем в конечном итоге вместо (2.67)
соотношение
-З^Х Jd3f/|b(f' s: f'' s':
x V'S (Ш+ U)' - m") NN' (N" + 1), (2.68)
которое теперь действительно не зависит от размеров. В дополнение
к процессу, описываемому этой формулой, мы должны принять во внимание
обратный процесс (фонон с волновым вектором f" расщепляется на фононы с
волновыми векторами f и f'), а также процесс, в котором рассматриваемый
фонон f расщепляется на два других или, наоборот, два фонона дают один
фонон f. Комбинируя эти четыре процесса и учитывая движение фононов, мы
получаем в конце концов уравнение для полного изменения N (i, s):
'~dxd/^Jr^^jdSf (Х*6^' s; f/' s''
s'. 8"
x mm'm"8 (cd + "' - o>") [(W + 1)(W' + 1) N" - NN' (Л/"+1)] +
+ ^ j|b(f, s; t', s'\ s'") |9(bu>'(b'"8(id - id' - w'") X
s',
X [(Л7 + 1 )N'N'"-N(N'-{-\)(N'"+ 1)]}. (2.69)
66 гл. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
Здесь опять подразумевается, что f" есть решение уравнения (2.62) и
соответственно V" есть решение уравнения
f - Г - Г = к. (2.70)
Для задачи о теплопроводности мы примем, что
N(t, s, x)=.AP(f, s, T) + N'(i, s), (2.71)
где № есть среднее число фононов для теплового равновесия, т. е.
№ = -яг--. (2.72)
е?Пт _ j v >
Легко проверить, что
^0 = ЛР(^°+1)^1. (2.73)
Ввиду этого при подстановке (2.71) в (2.69) мы можем пренебречь АЛ в
члене, описывающем перенос, так как в противном слу^ чае это приведет к
членам второго порядка по градиенту температуры. Что же касается членов,
описывающих столкновения, то легко видеть, что № само по себе ничего не
дает (подтверждая этим, что в отсутствие градиента температуры № дает
стационарное распределение), и мы должны поэтому ожидать, что в членах,
описывающих столкновения, появятся величины не ниже первого порядка по
N1. Следовательно, N1 будет пропорционально градиенту температуры, и мы
будем пренебрегать квадратом этой величины. Наконец, удобно выделить из
N1 множитель, аналогичный появляющемуся в (2.73):
АЛ (f, s) = N0 (f, s) [ЛА> (f, s) + 1 ] g(f, s). (2.74)
Отсюда, применяя тождество
AF>(f, s)W(f', s')(W°(f". 04-11 =
= [Л/°(f, s)+ 111 V°(f', s') + 1] №(f, s"), (2.75)
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed