Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
отклонения от которого можно рассчитать и сравнить с экспериментальными
данными.
$ 3. линейный член в теплоемкости
51
Чтобы найти поправки, достаточно, очевидно, воспользоваться классическим
рассмотрением. Прежде чем написать общие уравнения, будет полезно
рассмотреть соответствующую задачу для одной частицы, колеблющейся в
заданном поле. Энергия в гамильтоновой форме имеет вид
н = -шР+уЮ- (2.3i)
Поэтому функция распределения равна
Z (?) = J dp J dxe~W2m~ЭПа,). (2.32
Как всегда, интегрирование по р можно выполнить сразу, в результате чего
остается
Z (р) = J dxe~?v {х) (2.33)
Пусть Tenejfe потенциал соответствует гармоническому осциллятору с малыми
ангармоническими членами:
V(x) = ^ ахя Ь* -+-сх*. (2.34)
При этом, если мы разложим интеграл в (2.33) по степеням b и с и сохраним
лишь члены первого порядка по с и второго по Ь, то получим
Z (р) = /aJ dxe~^9ах' (l - §bx*-j-1 рЧ*хР - $сх*}. (2.35)
Интеграл от кубического члена в силу симметрии, очевидно, окажется равным
нулю. Остающиеся интегралы берутся элементарно и мы получаем
г(r) = г,/Ц(1-?+""). (2.36)
Средняя тепловая энергия может быть получена из функции распределения с
помощью соотношения
? = (2-37)
которое с точностью до членов более высокого порядка дает
E = kT-^(kTf + lg-(kTf. (2.38)
Чтобы сохранить аналогию с силами взаимодействия в кристалле, мы примем,
что каждая производная потенциала отличается от следующей производной на
множитель порядка межатомного расстояния. Это означает "то по порядку
величины отношение ajb
62
ГЛ. 8. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
сравнимо с Ь/с. В этом случае оба последних члена в (2.38) имеют
сравнимую величину. Они дают поправки к энергии, пропорциональные Т2. и,
следовательно, линейные чле ы в теплоемкости. Если по порядку величины
a\b ~b/c~ d, то оба члена, как второй, так и третий, имеют порядок
(kT)2jadа. Иными словами, они малы по сравнению с первым членом до тех
пор, пока температура нала по сравнению с температурой, для которой
среднеквадратичная амплитуда равна d2. Легко проверить, что члены более
высокого порядка, которыми мы пренебрегли, а именно члены следующих
порядков в выражении для потенциала (2.34), члены в разложении экспоненты
в соотношении (2.35) и в разложении логарифма в соотношении (2.37),
содержат более высокие степени kT/ad2, так что (2.38) является правильным
приближением.
После этого предварительного рассмотрения мы обратимся к общему случаю.
Ясно, что мы опять должны принять во внимание члены четвертого порядка,
которые не написаны в (1.20). Как и в (2.35), мы опять разложим
больцмановский множитель по степеням кубического члена и члена четвертого
порядка и сохраним лишь ту часть, которая пропорциональна квадрату
кубического члена и первой степени члена четвертого порядка.
Ввиду того, что экспонента содержит квадратичные (гармонические) члены,
мы должны перейти к переменным, в которых квадратичные члены разделяются.
Иными словами, мы должны использовать нормальные координаты. Учитывая
это, мы подставим выражение (1.30) для и в член, содержащий В в
соотношении (1.20):
и'[= i Л 2 * (*. * *'• f" s") ft. аЯг, <я,... (2-39)
f, Г, Г' а. а', а"
где
Ъ{f, s; Г, s'; f", s") =
= 2 2 n'; J"'n"lf,,,i+r',"'+fx
j.j'.j" и, n', и"
X v, (f, s) vf (f\ s') vf, (f". s"). (2.40)
Из трансляционной симметрии сразу следует важное свойство коэффициентов
Ь. Мы знаем, что уравнение не меняется, если мы переместим кристалл на
величину любого вектора решетки, т. е. добавим вектор решетки а ко всем
аи в (2.40). При этом выражение (2.39) умножится на
eia.(f+r+f"), (2.41)
Так как Uc не должно измениться, то отсюда следует, что коэффициенты b
должны равняться нулю, если только экспонента (2.41)
S 3. ЛИНЕЙНЫЙ ЧЛЕН В ТЕПЛОЕМКОСТИ
53
не равна единице. Согласно (1.28), это означает, что
b{l, s\ Г, s'; f",s") = 0, (2.42)
за исключением того случая, когда векторы связаны соотношением f -J- fr -
f- f" = К, где К-вектор обратной решетки. Это означает, что если два
вектора, например f и f', заданы, то все значения f", для которых
коэффициенты отличны от нуля, эквиваленты и лишь одно из них лежит в
пределах основной ячейки обратной решетки, содержащей, по определению,
все наши волновые векторы f. Если f и f' малы, так что их сумма сама
лежит в пределах основной ячейки, то мы должны считать в (2.42) К = 0; в
противном случае К должно быть выбрано так, чтобы вернуть ?' в основную
ячейку.
Теперь, как и в (2.35), мы напишем для больцмановского множителя
разложение х)
е~?Е = uh( 1 _ |5t/c + tful - pt/J, (2.43)
где Uh, Uc, Uq соответственно обозначают гармонический и кубический члены
и член четвертого порядка в выражении для потенциальной энергии. Для
получения функции распределения Z мы должны проинтегрировать (2.43) по
фазовому пространству, что означает взятие средних значений от Uc, U\ и
Uq по распределению, которое соответствует гармоническому движению. Так
как функция Uh четна по всем нормальным координатам, то вероятность* не
