Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
пропорционально /-б, и, следовательно, выражение для величины переноса
энергии
О
расходится для малых /как JСледовательно, точное решение (2.76) привело
бы к бесконечной теплопроводности. Померанчук отметил также тот факт, что
затухание длинных волн будет в значительно большей степени обязано членам
четвертого порядка, которые включают четырехфононные процессы. В этом
случае столкновение длинноволнового фонона с коротковолновым любой
поляризации всегда будет возможным, и поэтому приведенное выше
затруднение не возникнет. Однако члены, обусловленные четырехфононным
процессом,
S 7. ПРИМЕСИ И ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРОВ
69
содержат лишнюю степень Г, и если бы присутствовали только эти члены, то
теплопроводность была бы пропорциональна Т~2. В действительности мы
должны принять, что в уравнении (2.76) доминируют кубические члены и что
члены четвертого порядка будут иметь значение только для ограничения
движения длинноволновых фононов. Поэтому температурный закон должен быть
чем-то промежуточным между 1/Г и 1/Г2. Померанчук приводит рассуждение,
которое дает закон Г~5/4. Однако это рассуждение основывается на
концепции средней длины свободного пробега, которая неприменима в
рассматриваемых условиях, поэтому такое заключение нельзя считать твердо
установленным. Единственный вывод, который, как нам кажется, можно
определенно сделать из изложенного выше, состоит в том, что температурный
закон должен быть промежуточным между Г-1 и Т~21). Такой результат может
показаться плохим вознаграждением за столь длинное рассуждение, но мы не
можем надеяться достичь каких-либо успехов в этом направлении, пока не
будет найден достаточно простой и достаточно точный закон дисперсии. Этот
закон должен дать возможность найти в явной форме решения для возможных
столкновений и в то же время быть настолько точным, чтобы приводить к
столкновениям правильного вида, включая столкновения с процессами
переброса.
§ 7. Примеси и влияние размеров
До сих пор наше рассмотрение относилось к идеальным кристаллам. Если
правильность решетки оказалась нарушенной благодаря загрязнениям или
дефектам в процессе выращивания кристалла, то эти нарушения также будут
рассеивать фононы. Так как в этом случае рассеивающие центры присутствуют
при любой температуре, то вероятность рассеяния фононов с заданным
волновым вектором и поляризацией не зависит от температуры. В области
высоких температур, где спектральное распределение фононов фиксировано и
где теплоемкость постоянна, такие неоднородности дадут дополнительное
сопротивление, не зависящее от температуры. Положение является более
сложным при низких температурах, где мы имеем дело с фононами со все
увеличивающейся длиной волны. В этом случае температурный ход зависит от
изменения сечения рассеяния с длиной волны. Если загрязнений мало,
например если они пред-
!) После того как была написана эта книга, Херринг [30а] показал, что
кривые частот колебаний, соответствующие какому-либо направлению в
решетке, в общем случае заметно отличаются от тех, которые представлены
на фиг. 1-3. Поэтому, как правило, столкновения длинноволнового
продольного фонона с другими коротковолновыми фононами оказываются
возможными. Согласно приведенному рассуждению, из этого следует, что для
большинства кристаллов выполняется закон Г-1,
70 ГЛ. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
ставляют собой единичные неправильно расположенные атомы, то они будут
рассеивать длинные волны очень неэффективно. Может случиться, что эти
загрязнения сами по себе не приведут к конечному сопротивлению, так как
здесь, аналогично случаю, рассмотренному в предыдущем параграфе,
длинноволновые фононы сохраняют слишком большую подвижность. Тем не менее
такие нарушения решетки могут оказывать большое влияние на сопротивление
при низких температурах, если они могут вызвать настолько быстрое
изменение полного волнового вектора J, чтобы сделать ненужными процессы
переброса. В этих случаях теплосопротивление опять будет являться
совместным результатом столкновений нескольких различных типов, и какое-
либо обсуждение экспериментальных результатов становится соответственно
очень затруднительным *).
Сравнивая грубую формулу (2.56) с соотношением, аналогичным соотношению
(2.64), можно обнаружить еще одно интересное обстоятельство. При низких
температурах теплопроводность быстро возрастает в отличие от
теплоемкости, которая падает. Отсюда следует, что свободный пробег
фононов становится очень большим.
Например, теплопроводность чистого КС1 при 4° К составляет величину
порядка 1 кал!сек • град • см. Так как теплоемкость при этой температуре
равна около 104 кал!см8 • град, а скорость звука имеет величину порядка
6-Ю6 см!сек, т0 свободный пробег должен быть
порядка 10-1 см. Отсюда очевидно, что размер реального кристалла и
условия на его поверхности являются очень существенными при интерпретации
экспериментов. Эксперименты де Гааза и Бирмаца [27] и их анализ,
