Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
пользоваться в (2.4) приближением, в котором йо>
44 ГЛ. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
считается большим по сравнению с kT, так как ни при каких разумных
температурах такое соотношение не могло бы быть справедливо для всех
частот. Однако легко увидеть, что только те частоты дадут существенный
вклад в (2.4), для которых рйо> невелико. Если температура низка, то это
будет иметь место только для низшей части энергетического спектра. Выше
мы нашли, что малые частоты соответствуют малым значениям f, причем если
г > 1, то только трем из всех Зг частот, возможных при каждом значении f.
Мы видели также, что для этих колебаний частота пропорциональна
абсолютной величине f, причем коэффициент пропорциональности зависит от
направления f и от поляризации волны.
Следовательно, частотный спектр в (2.4) можно представить выражением
u>(f, s) = ce(0, <р)/, s=l, 2, 3. (2.7)
Здесь углы 0, <р определяют направление f, а са есть скорость
звука.
Мы можем также заменить суммирование по f интегрированием,
замечая, что плотность разрешенных значений f в f-пространстве есть
V/(2it)8. В полярных координатах
<2-8>
' ' 8 = 1 0 в 1
где dQ- элемент телесного угла. Интегрирование по / может быть
распространено до бесконечности, так как большие значения / не изменят
существенным образом величины интеграла. Введем теперь вместо / новую
переменную интегрирования
х = $Ас, (в, <р)/. (2.9)
Тогда
<2'""
'в 8 О
Последний интеграл может быть вычислен и равен it4/15. Суммирование по s
и интегрирование по углам в принципе можно выполнить, если известны
упругие постоянные кристалла. Если положить
dQ 12я , (2.11)
ш
[Са (0. ?)]3 с:
эфф.
то сЭфф. представляет собой некоторую среднюю скорость звука.
Окончательно в этом случае имеем
Е "HkTYV
10йЧфф.
§ 1. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
4b
Этот закон Г4 для тепловой энергии кристалла, соответствующий закону Т3
для теплоемкости при низких температурах, хорошо подтверждается
экспериментом. Он был впервые выведен Дебаем, который дал также
интерполяционную формулу. В последней используется упрощенный
колебательный спектр, что позволяет сочетать высокотемпературный закон с
выражением для низких температур. Дебай предположил, что скорость звука
одинакова для всех длин волн и не зависит от направления поляризации, так
что закон (2.7) всегда справедлив, причем са является константой. Вместо
интегрирования f по основной ячейке обратной решетки и добавления всех
других типов волн (если г > 1) Дебай распространил интегрирование на
сферу в f-пространстве, которая была выбрана таким образом, что давала
правильное число степеней свободы. Это означает, что ее радиус /0
определяется соотношением
где с - константа.
В этих предположениях мы получаем формулу (2.8) уже при любых
температурах, однако при том условии, что интегрирование по f ведется
только до верхнего предела /0. При этом вместо (2.10) мы находим
где х0 = рйо>0 = й(о0/&7\ Если ввести характеристическую температуру
то верхний предел интеграла в (2.15) будет равен в/7\ Мы можем также
исключить с с помощью (2.13) и (2.14). При этом получается
в/т
или
f
A 6i@Nr
(2.13)
Максимальная частота в этой модели равна
<*>0 = с/о>
(2.14)
(2.15)
О
El-9NrtT(rf j
(2.16)
о
Это и есть формула Дебая для тепловой энергии кристалла. Из самого ее
вывода ясно, что она является не более, чем качественным результатом, и
представляет собой интерполяционную формулу, связы-
46 ГЛ. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
вающую высокотемпературный и низкотемпературный законы.
Характеристическую температуру 0 нужно рассматривать как эмпирический
параметр. Формула (2.16) является точной при низких температурах, где она
правильно описывает зависимость энергии Ет от температуры законом Т*, и
при очень высоких температурах, где она приводит к теплоемкости,
определяемой законом Дюлонга и Пти (ЗА на атом). Однако в общем случае
она не дает ни правильного значения постоянного члена в (2.5), который
совпадает с нулевой энергией, ни коэффициента в члене с Г-1, который дает
наиболее существенное отклонение теплоемкости от закона Дюлокга и Пти.
В модифицированном варианте дебаевской модели предположение о постоянной
скорости звука применяется лишь для трех низших нормальных частот с любым
f, образующих так называемую акустическую ветвь колебательного спектра.
Остальные ветви иногда называют оптическими, поскольку в случае ионных
кристаллов они содержат частоты, которые, как мы увидим, проявляются в
инфракрасном спектре поглощения. Так как соответствующие колебания могут
быть представлены как колебания различных частей элементарной ячейки
относительно друг друга, то они в несколько меньшей степени зависят от
того, колеблются ли соседние элементарные ячейки с одной и той же или с
различной фазой. Следовательно, эти частоты меняются с изменением f
несколько слабее, чем частоты акустической ветви. Ввиду этого иногда
употребляется модель, в которой оптические ветви заменяются г-1
