Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
целесообразным дать его вывод, потому что из него можно сделать некоторые
качественные заключения, а также потому что интересно понять природу тех
трудностей, которые стоят на пути получения полного решения.
Чтобы рассмотреть теплопроводность, мы должны иметь возможность описать
такое состояние, при котором температура в разных точках пространства
различна. Для этой цели нам следует применять не сами нормальные
координаты, как это мы делали до сих пор, а их комбинации в виде волновых
пакетов, каждый из которых принадлежит малому интервалу 8{ значений
волнового вектора и локализован в пространстве в области величиной 8х. Из
принципа неопределенности мы имеем
и аналогичные соотношения для других компонент. Это, конечно, означает,
что мы рассматриваем колебания, которые не являются точными нормальными
колебаниями, или, иначе говоря, квантовые состояния, которые не являются
точно стационарными. Главным следствием этого является то, что каждый из
таких волновых пакетов будет перемещаться с соответствующей групповой
скоростью. Это обстоятельство мы, конечно, будем учитывать. Далее,
энергия такой волны не является точно определенной, так что мы должны
допу-
невозможен; возможными процессами являются
(1) + (1)-ь(2), (1) -1- (1) -> (3), (1) + (2)->(2), (1) + (2)^(3), (1) Н-
(3) -> (3), (2) -|- (3) ->- (3).
§ 5. Уравнение Больцмана
(2.65)
g S. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
63
стить небольшой разброс в соотношении (2.61), если частоты в этом
соотношении выбираются как средние значения для каждого волнового пакета.
Однако это не изменит результаты, если все другие зависящие от энергии
множители в уравнениях будут практически постоянны в пределах области
этой неопределенности. В тепловом равновесии или при малых отклонениях от
равновесия, которые соответствуют не слишком большому тепловому потоку,
числа различных фононов будут заметно меняться только при изменениях
энергии на величину порядка kT. Следовательно, применение волновых
пакетов не приведет к трудностям, если только
АГ> bE~h~-bf=bvbft
где v - групповая скорость. При подстановке о/ из (2.65) это условие
превращается в следующее:
Ы>Тг~ Та- <2*66)
В последней оценке мы заменили групповую скорость скоростью звука и
приравняли длину 1//0, которая входит в определение де-баевской
температуры, постоянной решетки а. Нам поэтому достаточно принять, что
температура заметно не меняется на расстояниях порядка (2.66). Это,
очевидно, является очень мягким ограничением температурного градиента. Во
всех случаях коэффициент теплопроводности по определению относится к
бесконечно малому градиенту: условие (2.66) показывает, что на практике
нет причин ожидать появления зависимости теплопроводности от величины
градиента температуры вследствие произведенных изменений.
Рассмотрим теперь число фононов как функцию их волнового вектора,
поляризации и пространственных координат. Сформулируем условие, при
котором эта функция распределения будет оставаться стационарной. Она
может подвергнуться изменениям в силу двух причин: 1) движения фононов,
переносящих энергию из высокотемпературных в низкотемпературные области;
2) влияния столкновений между фононами, которые мы только что
рассмотрели. Вероятность таких столкновений дается формулой (2.60), и,
чтобы найти соответствующий усредненный эффект, мы должны в
действительности знать средние значения произведений- трех чисел
заполнения, которые могут быть заменены произведением средних лишь при
отсутствии корреляций. Действительно, если мы примем, что числа фононов в
различных состояниях первоначально некоррелированы между собой, и затем с
помощью соотношения (2.60) рассмотрим, как они меняются, то найдем, что
если эти числа относятся к состояниям, между которыми произошли
столкновения, то в более поздний момент времени между ними возникают
корреляции. Это аналогично тому, что имеет место в кинетической теории
газов; можно показать, что
64
ГЛ. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
после столкновения распределение столкнувшихся молекул в фазовом
пространстве обнаруживает корреляции. Вопрос о таких корреляциях мы
можем, однако, исключить из рассмотрения, заметив, что вероятность
повторного столкновения пары молекул, до того, как каждая из них
претерпела множество столкновений с другими, очень невелика. Ввиду этого
имеет смысл предположить, что свойства любых двух сталкивающихся молекул
не коррелированы.
То же рассуждение можно применить и в нашем случае, если мы имеем дело с
большими количествами фононов, так что вероятность нескольких
последовательных столкновений одних и тех же фононов ничтожно мала.
Кроме того, имеется еще одно условие, без которого не может быть написано
уравнение для средних чисел заполнения. Оно заключается в том, что числа
заполнения должны давать всю возможную информацию о системе и что между
состояниями с различными числами заполнения не должно быть фазовых
соотношений. Если выразить это условие с помощью концепции о
