Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
или отрицательными. Поэтому в реальном процессе два из этих чисел
положительны и одно отрицательно или, наоборот, одно положительно и два
отрицательны. Это означает либо уничтожение двух фононов и возникновение
нового, или, наоборот, уничтожение одного и возникновение двух фононов.
Следовательно, вероятность процесса, в котором два фонона f, s и t', s'
объединяются в один ?', s" [принимая во внимание перестановки в (2.57)],
равна
I и (s -/._*" ."м, 2kW(*. s)N (V, s') [N (t", s")+ 11 w
(I. ' 8[MW]3<o(ft ,)"(Г, s") X
X*[(r)(f. s) + (r)(f/, s') - u>(f", s")]. (2.60)
Дельта-функция не будет равна нулю только при выполнении условия;
o)(f, s) + io(f', s') - ш(Г, s") = 0. (2.61)
Кроме того, согласно (2.42), первый множитель в (2.60) будет отличен от
нуля только в том случае, если выполняется соотношение
f-|_f'-_f" = K, (2.62)
где К опять означает вектор обратной решетки.
Первое из этих условий выражает закон сохранения энергии при столкновении
между двумя фононами. Второе условие аналогично закону сохранения
импульса. Действительно, если бы мы имели дело не с кристаллом, а с
непрерывной средой, то единственным возможным значением К в правой части
(2.62) был бы нуль и импульс фонона с волновым вектором f в такой среде
был бы равен Ы. Однако этой аналогии не следует придавать слишком
большого значения, так как для нормальных колебаний, которые мы
рассмотрели, полный импульс наверняка равен нулю (за исключением
существенно вырожденного случая f = 0).
Если применить наше условие, которое ограничивает значения f областью,
соответствующей основной ячейке обратной решетки, то окажется, что для
любых заданных f и V существует лишь одно значение ?', удовлетворяющее
(2.62). Будет ли при этом вектор К. стоящий справа, представлять собой
конечный вектор обратной решетки или будет равен нулю, зависит от выбора
f и f'.
Процессы, для которых в (2.62) К Ф 0, называются в немецкой литературе
процессами переброса (Umklapprozesse). Типичным примером является случай,
когда f соответствует волне, перемещающейся в направлении -лг, и
находится почти у края основной ячейки обратной решетки, т. е. длина
волны такова, что соседние атомы движутся с почти одной и той же фазой,
но в противоположных направлениях. Пусть волна f', которая
взаимодействует
g 4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
59
с первой волной, имеет волновой вектор, также направленный по -)- х<
величина которого очень мала, однако достаточна для того, чтобы сумма
вышла за пределы края основной ячейки. Тогда сумма эквивалентна вектору,
расположенному около левого края ячейки, а К в этом случае представляет
собой наименьший отличный от нуля вектор обратной решетки в направлении
оси х.
Из приведенного примера ясно, что нет существенной физической разницы
между процессами, в которых сумма f + f' остается в пределах основной
ячейки, и теми, в которых она оказывается вне этой ячейки и приводится к
последней добавлением надлежащего вектора К- Действительно, различие
между обоими типами процессов зависит от того, каким образом мы
условились выбирать основную ячейку. Однако вопрос о том, сможем ли мы
найти условие, при котором (2.62) будет всегда выполняться при К -0,
имеет существенное значение.
Действительно, предположим временно, что процессы переброса могли бы быть
исключены и что в (2.62) мы могли бы положить К = 0. В этом случае
очевидно, что в рассматриваемом нами процессе сумма волновых векторов не
изменяется, и поэтому величина
j = 22w(f. ") (2-63)
f в
при таких столкновениях должна сохраняться. Следовательно, при таких
столкновениях не могло бы установиться полное статистическое равновесие,
если бы вдруг оказалось, что J Ф 0. Вместо этого такие процессы заставили
бы систему приближаться к наиболее вероятному состоянию, соответствующему
заданному J. (Статистическая задача аналогична задаче о столкновениях
между молекулами газа, движущегося без трения в бесконечно длинной прямой
трубе, если средняя скорость не равна нулю.) Наличие конечного J в
направлении положительных х означает, что число фононов, перемещающихся в
этом направлении, больше числа фононов, перемещающихся в противоположную
сторону, и эта асимметрия приведет к отличному от нуля переносу энергии.
Иными словами, в рассмотренном гипотетическом случае конечный перенос
энергии может сохраняться и при отсутствии градиента температуры; это
означает бесконечную теплопроводность.
Отсюда следует, что решения (2.61), (2.62) с К Ф 0 являются первостепенно
важными для теплопроводности.
Следствия этого заключения особенно очевидны при очень низких
температурах (Т<?в). В этом случае большинство фононов, которые
соответствуют теплозому возбуждению кристалла, являются длинноволновыми,
и для взаимодействия таких фононов К в формуле (2.62) будет равно нулю.
Если наименьшее отличное от нуля значение К по абсолютной величине равно
К0, то f + f' по
60 гл. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
абсолютной величине должно превышать К0/2, если мы хотим, чтобы
