Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
добавление вектора обратной решетки действительно соответствовало
приведению к основной ячейке. Следовательно, либо f, либо должно по
абсолютной величине превышать К014. Мы можем, таким образом, указать
нижний предел частот фононов, которые должны присутствовать, чтобы
сделать возможными процессы переброса. При низких температурах число
таких фононов N(i, s) мало, и, следовательно, величина выражения (2.60)
существенно определяется множителями N(f, s), N(f', s'), которые
уменьшаются экспоненциально с температурой, если одна из частот
поддерживается выше определенного предельного значения. Поэтому
вероятность процессов переброса уменьшается с температурой, как
где - некоторый численный множитель, меньший 1. Так как в отсутствие
таких процессов нет и, теплосопротивления, то последнее также должно быть
пропорционально экспоненте (2.64). Этот вывод подтверждается
экспериментами, приведенными в Оксфорде :).
Очевидно, что результат не изменится, если мы рассмотрим обратный
процесс, в котором один фонон расщепляется на два, так как этот процесс
даст не равное нулю К в (2.62) только в том случае, когда частота
начального фонона io(f", s") достаточно велика.
Ясно также, что положение существенно не изменится, если мы включим в
потенциал члены четвертого порядка. Эти члены описывают четырехфононные
процессы. При этом либо два фонона сталкиваются и превращаются в два
новых, либо три соединяются в один, либо, наконец, один расщепляется на
три. В каждом случае мы находим законы сохранения, аналогичные
приведенным выше, и при этом оказывается, что полный волновой вектор
(2.63) всегда сохраняется за исключением процессов, требующих присутствия
по крайней мере одного фонона с большой энергией. Если произвести более
детальную оценку множителя (2.64), то можно определить, какие члены-¦
кубические или члены четвертого порядка - будут доминировать в том или
ином случае.
Для дальнейшего разбора взаимодействий между фононами важно исследовать
закон сохранения (2.61) и (2.62) и найти свойства решений, которые
разрешены этими законами. Мы произведем соответствующее рассмотрение для
решетки с одним атомом в элементарной ячейке, в которой каждому заданному
f соответствуют три частоты. Для дальнейшего упрощения рассмотрим случай,
в котором все три вектора f, f' и параллельны одной из главных осей кри-
*) См. работы Бермана [4, 5].
1 4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
6!
сталла. При этом два из нормальных колебаний будут поперечными и иметь
одну и ту же частоту, третье же будет продольным и иметь более высокую
частоту. Частоты даются кривыми вида, подобными изображенным сплошными
линиями на фиг. 1. Мы можем в этом случае построить решения уравнений
(2.61) и (2.62) графически следующим образом. Отметим на сплошной линии
точку f, принадлежащую одному из начальных фононов, и затем нарисуем те
же частотные кривые, приняв эту точку за начало отсчета (пунктирные
линии), причем в случае необходимости продолжим их периодически.
Пересечение этих линий с первоначальными сплошными линиями даст требуемое
решение.
Абсцисса и ордината точки пересечения дают f" и ев", а расстояния по
вертикали и горизонтали между точкой пересечения и началом пунктирных
кривых дают f' и ев'. Если при таком построении f' выходит за пределы
основной ячейки, его нужно привести к ней обычным образом, и в этом
случае мы имеем дело с процессом переброса. Построение на фиг. 1
соответствует тому случаю, когда два поперечных фонона превращаются в
один продольный; показано также пересечение, соответствующее слиянию
поперечного и продольного фононов в один продольный. Такое же построение
для случая, когда оба начальных фонона являются продольными, показано на
фиг. 2; в этом случае задача не имеет решений. Если f особенно мало
(длинные волны) и s соответствует продольной волне, то единственным
возможным процессом является столкновение с поперечным фононом сравнимой
длины волны (фиг. 3).
Все эти рассуждения применимы лишь для весьма специфических направлений
трех волновых векторов. Если, однако, представить себе кривые частот для
двух, а затем для трех измерений и обозначить через s=l, 2, 3 частоты,
соответствующие данному f
62 гл. 2. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ. ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
в порядке возрастания их величины, то легко видеть, что справедливы
следующие утверждения: не существует решения, для которого все три фонона
принадлежат одному и тому же s\ процесс
В каждом из этих случаев мы можем считать один из начальных фононов
произвольным и затем найти поверхность, на которой должен окончиться
второй волновой вектор. В этом случае опять справедливо заключение о том,
что если в последних двух случаях мы будем считать длину волны для фонона
с s = 3 очень большой, то сталкивающийся с ним фонон должен иметь длину
волны того же порядка.
Теперь мы выведем интегральное уравнение, решение которого дает
количественное выражение для теплопроводности. Хотя мы и не можем в
действительности получить решение этого уравнения, мы все же считаем
