Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
свободных частиц.
До сих пор рассматривались системы типа 1. Системы типа V получаются
аналогично, как редукция гамильтоновых систем на Т*Х° с гамильтонианом
1
Н= - tr (у + х ). (3.734)
2
В. Системы типа II и III. Возьмем теперь в качестве фазового
пространства кокасательное расслоение Т*Х~ к однородному пространству
Х~ =SL(n, <D)/SU(h) (3.7.35)
эрмитовых положительно-определенных матриц с определителем равным
единице
Т*Х~ = {(х,у): х&Х~, уеТ*Х~}. (3.7.36)
Касательное пространство ТхХ~ и дуальное кокасательное пространство ТхХ~
в точке х можно отождествить с эрмитовыми матрицами у, удовлетворяющими
условию tr(yx"1) = 0, которое является следствием условия det х = 1.
Спаривание между касательными и кокасательными векторами определяется
инвариантной метрикой
ds2 = ti(dx ¦ x~ldx ¦ х"1 ). (3.7.37)
На пространстве Т*Х~ действует группа G = SL (п, С) согласно фор-
муле
х ~+gxg+, у ->gyg+. (3.7.38)
Определим каноническую форму и и симплектическую форму со на
пространстве Т*Х~ согласно формулам
в = - tr(yd(x-1)) = tr(yx_1dx -х"1), (3.7.39)
со = Д0 =- ti(dy A d(x~i)) = ti(x~1dy A x~ldx) (3.7,40)
и рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом Т*Х~
1
Я = - tr(yx ) . (3.7.41)
Соответствующие уравнения движения
х=у, у=ух~*у (3.7.42)
эквивалентны уравнениям геодезических на Х~:
х=хх_1х. (3.7.43)
Их решения имеют вид
x(t) = bexp(2at)b*, (3.7.44)
ю
где а = а. Гамильтонова система, определенная формулой (3.7.41),
инвариантна относительно точного симплектического действия (3.7.38)
группы G. Для любого элемента % алгебры Ли $ группы G экспоненциальная
подгруппа ехр(?г) порождает гамильтоново векторное поле
-7-(х"1) = -?+х"1 -х"1?, -у = +у?+. (3.7.45)
сft dt
Соответствующий гамильтониан имеет вид
Щ(х,у) = и(х~1у%* + ух_1?), (3.7.46)
и, следовательно, ассоциированное отображение момента Ф: Т*Х ~ -*¦ %)*
дается формулой
Ф(х,у) = 2ух~1. (3.7.47)
Рассмотрим теперь гамильтонову редукцию геодезического потока на Х~ по
отношению к действию максимальной компактной подгруппы К = SU(h),
Действие К на Т*Х~ гамильтоново, а соответствующее отображение момента
Т*Х~ ^ X* из Т*Х~в пространство X*, дуальное к алгебре Ли X группы К,
легко выводится из (3.7.46) с помощью условия ?+ = - ? или из (3.7.47)
путем перехода к подгруппе к,
*(х,У) = 1[х-\у]. (3.7.48)
Мы пришли к прежнему отображению момента (см. формулу (3.7.10), в которой
х заменено на х-1), Напомним теперь, что геодезические, ко-, торые
проектируются в траектории системы типа И, обладают ''моментом количества
движения" очень специального вида:
д= d(e(r)e-I), е = (\...........1), d = 4a2g. (3.7.49)
Поэтому мы рассмотрим редукцию именно для отображения момента такого
вида. Приведенное пространство (?-1(д)/А^ (т.е. решения уравнения /[х-
1,^] = Д с точностью до действия группы Кц) уже было описано формулами
(3.7.17), (3.7.18):
х"1 =diag(<71,:,, ,qn), (3.7.50)
У,-к =Pjbjk + i4a2g(l - Ъ]кЩ - qk)~l.
После канонического преобразования
q,^e2a<4, Pj -> -±-pje-2a<4 (3.751)
2 a
уравнение (3,7.50) принимает вид
X-1 = diag(e2a<?' е2аЧп), (3.752)
(Л*-1)/* = "P/8fc/ + w(l " bjk)e2aqk(e2aqi -e2aqkyl.
2 a
Приведенный гамильтониан H = - tr (ух-1)2 теперь принимает вид
H=-L 2 р} + 4d2 2 sh-2[a(qj-qk)] (3.7.53)
4 a / = i / < k
153
и, таким образом, описывает систему типа II. В частности, отсюда следует
главный результат раздела (3.5): геодезические с ''моментом количества
движения" и (3.7.49) проектируются в траектории системы типа II.
Иными словами, экспоненты eqf ^ являются собственными значениями матрицы
x(t) = eaQ(0)e2ateaQ(0) (3.754)
при условии, что ''момент количества движения"
/ [х,х-1 ] = i(eaQ(0)ae-aQ(0) -e~aQ(0)aea<2(0)) = д,
т.е. если а дается формулой (35.18). В общем-, можно сказать, что метод
проектирования, обсуждавшийся в разделах 33 и 35, является явной
реализацией гамильтоновой редукции геодезического потока на симмет-.
рическом пространстве по отношению к группе симметрии этого пространства.
Заметим, что матрица L = х ~уг ух ~уг, сопряженная ух~1, совпадает с
матрицей L (3.1.6) для систем типа II. Функции
h = 7tr(yx_1)fc = 7 tr(Lfc) к к
на Т*Х ~ являются К -инвариантными (в действительности С-инвариант-
ными) и находятся в инволюции. В самом деле, 1к (х, у) = - 1г(Ф(х, y))fc
-
к
1
это инвариантный полином - trA , вычисленный с помощью отображе-
к
ния момента. Поскольку инвариантные полиномы коммутируют по Пуассону на
i§*, а отображение Ф является пуассоновым, то Мы имеем {//с, /; } =0.
Следовательно, величины 1к представляют интегралы движения в инволюции
для редуцированной системы с гамильтонианом Я = /2.
В заключение этого раздела заметим, что подстановка а -*¦ ia переводит
систему типа II в систему типа III *). Эта же конструкция, примененная к
пространству Хп (см. раздел 3.6), приводит к системам с двумя типами
частиц.
3.8. Обобщение многочастичных систем типа I-III на случай системы корней
произвольной полупростой алгебры Ли
Результаты предыдущих разделов можно распространить на более широкий
