Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
V(g)=g2a2&(a%), W(Z) = gj 9>{a$) + gl 3>(a% + со,) +
+ g3&>(aZ + b)2) + g!l &(а% + W| +co2), (3.9.18)
где со, и co2 - полупериоды функции Вейернгграсса ^(?).
В формуле (3.9.11) постоянные gj не являются произвольными, и должны
удовлетворять нелинейному уравнению
.( 2 gf - 2 gig] ) = 64 П gf. (3.9.19)
/ = 1 к Ф 1 1=1
Б. Интегрирование уравнений движения. Интегрирование уравнений движения
для систем ВСп I-III, V (и, следовательно, для систем Вп, С" и Dn) можно
выполнить в явном виде аналогично тому, как это было сделано ранее для
систем типа Ап_ ,. При этом используется проектирование движения по
геодезическим на симметрических пространствах нулевой (тип I),
отрицательной (тип II) и положительной (тип III) кривизны, связанных с
группой SU(h + 1,h). Вся схема параллельна схеме разделов 3.3 и 3.5 и
пригодна для любой пары Лакса из предложения 35.1.
1. Системы типа I. Пусть (G, К) - симметрическая пара Картана и пусть
X - соответствующее симметрическое пространство нулевой кривизны, т.е. Х°
= SP - симметрическая компонента разложения Картана # =Л' + 5Е>.
Геодезические на Х° определяются уравнением х=0 (3.9.16)
и являются просто прямыми линиями
x(t) = at + b, а,ЬеХ°. (3.9.17)
160
Пусть А - подалгебра Картана в 3й. Каждый элемент пространства SP может
быть переведен в А с помощью действия группы К, так что мы можем положить
= u(t)G К, 6(f) (3.9.18)
Здесь Q(t) - ''радиальная часть" элемента х(г). Дифференцируя (3.9.18) по
отношению к t, мы получим
x(t) = u(t)L(t)u-l{t), (3.9.19)
где
L=P+[M,Q], (3.9.20)
M = u~iu, P = Q. (3.9.21)
Дифференцирование (3.9.19) дает
x(t) = u(t)(L+[M,L])u-i(t). (3922)
Таким образом, если пара Лакса L, М удовлетворяет соотношению
(3.9.20), то уравнение L - [L, М] эквивалентно уравнению для
геодезических (3.9.16). Соотношение (3.9.20) , очевидно, выполняется для
пары Лакса из предложения 1 с х(%) = ?-1. Точно так же, как и в разделе
3.3, мы видим, что если гамильтонова система с энергией
Я=| 2 р/+ 2 glv(qa), и(%) = Г2, (3.9.23)
2 / = i "es +
обладает парой Лакса, описанной в предложении 1, то траектория
системы
Q(t) с начальными данными 6(0), Р(0) является радиальной частью тра-
ектории движения по прямой линии,
L(0)t + Q(0). (3.9 24)
Если при этом картановская подалгебра А состоит из диагональных матриц,
как в случаях Ап и ВСп, рассмотренных выше, то координаты q,-(г) - это
просто собственные значения матрицы (3.924).
Скажем еще несколько слов о процессе рассеяния. Поскольку потенциал v(q)
для систем типа I стремится к нулю при | q | -+ °°, то мы получаем
Q(t) ~p±t + Q± + 6(т-1) при (3.9.25)
Пусть А - камера Вейля, содержащая Р~,и s - элемент группы Вейля, который
переводит А в -A: sA = -А. Тогда
P* = sP~, Q* = sQ~, (3.9 26)
и эти соотношения обобщают соотношения (3.3.19) и (3.3.22).
2. Системы типа 11. Рассмотрим уравнения для гармонического
осциллятора на Х°
х=-и2х. (3.9.27)
6. А.М. Переломов ^
Его решения, очевидно, имеют вид
x(r) = asincor + ftcoscor. (3.9.28)
Переходя к радиальной части
x(t) = u{t)Q{t)u-\t), (3.9.29)
мы находим
x{t) = u{t)L(t)u~l{t)> (3.9.30)
где
L=P+[M,Q], (3.9.31)
М = и~'1й, P = Q, (3.9.32)
и
х + со2* = u(L + [М, L] +ы20и''. (3.9.33)
Таким образом, если пара Лакса (L , М) удовлетворяет (3.9.31), то
уравнение
Z = [L,M] -со2 6 (3.9.34)
эквивалентно уравнению гармонического движения (3.9.27). Заметим, что
пару уравнений (3.9,31), (3.9.34) можно записать в виде (3.1.18)
Z* = [L±,M]±iwL±, L±=Lti^Q. (3.9.35)
Для (L ,М) пары из предложения 1 с х(?) = ?-1 это эквивалентно уравнениям
движения, порожденным гамильтонианом (3.9.23) с и (? ) = = ?" + со2?2. Мы
видим, таким образом, что их решение с начальными данными 6(0), L (0)
является радиальной частью траектории
?(0)sincor + 6(0)coscor. (3.9.36)
Заметим, что в этом случае движение является строго периодическим.
3. Системы типа II и Ш. Рассмотрим симметрическое пространство X=G/K
*). Геодезические на X даются формулой
x(t) = bexp(at)(6byl, ае&, b&G, (3.9.37)
гдеЬ~*вЬ- автоморфизм Картана в G (в случае группы SU(n + 1, и),
описанном выше, (6Ь)-1 = Ь*). Перейдем к радиальной части х(г) :
x(t) = u(t)zxp(2aQ(t))u-\t), u(t)eK, Q(t)GA. (3.9.38)
Повторяя рассуждения раздела 3.5, мы приходим к следующему результату:
если гамильтонова система (3.9.23) с потенциалом и (?) = = a2sh_2(a?)
описывается парой Лакса из предложения 1 с *(?) = actha?, тогда решение
этой системы с начальными условиями 6(0), Р(9) являет-
*) X может иметь или отрицательную, или положительную кривизну в
зависимости от вида симметрической пары (G, К).
162
ся радиальной частью траектории
ехр(д2(0))ехр(дг)ехр(д(?(0)), (3.9.39)
где q определяется из формулы
ехр(-д(2(0)) aexp(aQ(0)) + exp(aQ(0)) a exp(-aQ(0)) = 7aL (0).
(3.9.40)
3.10. Анизотропный гармонический осциллятор в поле центрального
потенциала четвертой степени (система Гарнье)
Хорошо известно, что как анизотропный гармонический осциллятор, гак и
частица; движущаяся в поле произвольного центрального потенциала U(r),
