Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 63

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 88 >> Следующая

периодическую цепочку п частиц, когда эти частицы взаимодействуют так же,
как и все остальные.
Более простой случай непериодической цепочки Тоды и его обобщения и будут
представлены в данной главе. Периодическая цепочка будет рассмотрена
отдельно; в этом случае приходится использовать более сложный
математический аппарат - теорию абелевых интегралов и тета-функций.
Остановимся кратко на истории данной задачи, отсылая за деталями к
монографии [33].
В 1974 г. в работе [196] для цепочки Тоды, состоящей из п частиц, были
найдены п функционально независимых интегралов движения. В том же году в
работах Флашки [168, 169] и Манакова [88] была доказана инволютивность
этих интегралов и, тем самым, полная интегрируемость рассматриваемой
системы. Вскоре Мозером [252] и Кацем и ван Мербеке [214] было показано,
что для непериодической цепочки величины ехр (г)) (qj - координата/-й
точки) являются рациональными функциями экспонент exp(Xfcr), где Xfc -
асимптотический импульс к-й частицы при t -*¦ + °°.
В работе Богоявленского [125] были введены обобщенные цепочки Тоды,
связанные с системами корней произвольной простой алгебры Ли. При этом
обычная цепочка Тоды связана с алгеброй Ли si (л, IR)-алгеброй
вещественных матриц порядка п со следом, равным нулю. Наконец, в работах
Ольшанецкого и автора [256,97] и Костанта [222] с помощью методов теории
групп уравнения движения для непериодического случая были
проинтегрированы явно. Отметим еще работу Адлера [109] , где было
показано, что фазовое пространство непериодической цепочки Тоды изоморфно
орбите коприсоединенного представления группы треугольных матриц со
стандартной симплектической структурой на этой орбите. Другие
169
обобщенные цепочки Тоды связаны с орбитами коприсоединенного
представления разрешимых групп Ли [292,293,272,216,181,182].
Периодическая цепочка Тоды является значительно более сложной системой и
не будет подробно рассматриваться в данной главе. Отметим лишь, что хотя
она и вполне интегрируема, однако,в отличие от непериодической цепочки,
она не является асимптотически свободной: при t -> ± °° она испытывает
сложные нелинейные колебания. Уравнения движения такой системы были
сведены к квадратурам в работе Каца и ван Мербеке [ 215] и
проинтегрированы в тета-функциях в работе Кричевера [83] методами
алгебраической геометрии, развитыми в обзоре [12]. Случай обобщенных
периодических цепочек Тоды [125] изучен в работах [272,273, 110,111].
Интегрирование так называемой неабелевой цепочки Тоды было выполнено
Кричевером (см. приложение к работе [13]). Отметим еще работу [246] , где
было показано, что для периодической цепочки Тоды уравнения движения
могут быть линеаризованы на так называемом многообразии Якоби
алгебраической кривой, связанной с данной системой, а также ряд других
работ [170,158,171,167,112,113,216,181,182,247,68] .посвященных различным
аспектам рассматриваемой проблемы.
4.1. Обычная цепочка Тоды. Представление Лакса.
Полная интегрируемость
Обычная непериодическая цепочка Тоды - это система п взаимодействующих
частиц на прямой с гамильтонианом
H=^pf+g2 f exP[2(<7/-<7/ + i)]- (4-1.1)
Для периодического случая такая система характеризуется гамильтонианом
Я'=- 2 pj + g2 2 ехр[2(?/ -<?/ + !)], <7"+i=<7i. (4-1.1')
2 i i
Здесь qj - координата/-й частицы,/?/ - ее импульс. Заметим, что после
П
перехода в систему центра масс (2 р, = 0 ) мы получаем систему с п - 1
1
степенью свободы. Отметим также, что с помощью сдвигов координат q/ -+ qj
+ dj мы можем перейти к случаю g = 1 для непериодической цепочки и к
гамильтониану
H" = -'Lpj+'L ехр[2(?/ - <7/+1)] +/2ехр[2(</"-</0] (4.1.1")
2 1 / = 1
для периодической цепочки.
Уравнения движения в непериодическом случае имеют вид (мы полагаем далее
g = 1)
Qj-P], /=1,...,л,
Pi =-2exp[2(<7i -q2)], Pn = 2 exp [2(qn_1 - qn)\, (4.1.2)
р}=-2exp[2(qj-qi+1)\+2exp[2(qi_1 -q})], / = 2 (n - 1).
170
В периодическом же случае мы имеем
ki=P),Pr 2 { exp[2(qf_i -qj)\- exp[2(<37 - qi+1)] } . (4.1.2')
Хотя уравнения (4.1.2) и (4.1.2'), на первый взгляд, отличаются друг от
друга незначительно, поведение их решений имеет совершенно различный
характер: уравнения (4.1.2) при t 00 описывают свободное движение частиц,
так что в этом случае естественно рассматривать задачу рассеяния; решения
же уравнений (4.1.2') квазипериодичны по г и описывают сложные нелинейные
колебания системы.
1. Представление Лакса. Как в непериодическом, так и в периодическом
случаях уравнения движения цепочки Тоды для п частиц обладают п
интегралами движения [196]. Явный вид их сразу же следует из
представления Лакса, открытого в работах Флашки [168,169] и Манакова
[88]. Именно, в этих работах было показано, что уравнения движения
(4.1.2) и (4.1.2') эквивалентны матричному уравнению Лакса
L=[L,M]. (4.1.3)
Здесь матрицы L к М зависят от динамических переменных р,- и qk и в
непериодическом случае являются матрицами Якоби (т.е. все элементы этих
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed