Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
класс гамильтоновых систем [255], который мы сейчас и опишем. Нам будут
нужны некоторые факты из теории групп Ли, которые можно найти в книгах
[7, 15] или же в приложениях к обзору [60].
Пусть Р = (Pi,...,Рп) и q - (<7!,..., qn) - векторы импульса и ко-
П
ординаты в л-мерном евклидовом пространстве Еп, (р, q) = 2 Pjqj -
/ = i
*) Геометрически это -эквивалентно переходу от пространства к
симметрическому пространству Х" положительной кривизны; Х" = SU (л).
154
скалярное произведение этих векторов. Так же, как и в предыдущих
разделах, мы рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом
H=^p2+U(q), р2=(р,р). (3.8.1)
Потенциал U(q) строится по определенной системе векторов, связанной с
алгеброй Ли - так называемой системой корней*). Эту систему обозначим
через R = {а}. Такая система обладает тем свойством, что вместе с
вектором а она обязательно содержит и вектор - а, причем нулевой вектор
не принадлежит системе R. Поэтому систему R можно представить как
объединение подсистемы R + (положительных корней) и подсистемы
(отрицательных корней); при этом существует гиперплоскость в R,
разделяющая подсистемы R + и R_.
Введем обозначение qa = (a, q), и пусть g\ - константы, одинаковые для
эквивалентных корней, т.е. для корней, которые связаны друг с другом с
помощью преобразований группы Вейля W.
Определим, следуя [255], потенциальную энергию формулой
U(q)= 2 glv(qa), (3.8.2)
а е я +
где функции v(qa) определены формулой (3.1.14) для случаев I-IV и
формулой
v(4a) = 4a2 + b)2ql (3.8.3)
для случая V.
В простейшем случае, обозначаемом Л1--1 и связанном с алгеброй Ли su(n),
подсистема положительных корней имеет вид
R+ ={ с,- - eh i </, /,/ = 1,..., п }, (3.8.4)
где {ej} - стандартный ортономированный базис в пространстве Еп.
Нетрудно видеть, что при этом мы получаем системы, рассмотренные в
предыдущих разделах.
Для более явного описания систем введем обозначения
V" = 2 v(qf - qk), V" = 2 v(q,- + qk),
1 < j < к < n 1< j< k<n
(3.8.5)
V?= 2 v(qj), V" = 2b(2qj),
/ = 1 / = 1
функцию u(qa) мы будем считать функцией типа I-V.
Приведем сводку результатов для различных типов систем корней:
Ап-х- U = g2Vn_,
Вп: U = g2[Vl + К"] +*?К,И,-
Сп: U = g2[V" + V?] +giV?,
Dn- U = g2[V" + К"], (ЗД.6)
*) Точное определение и свойства таких систем можно найти, например, в
[7] и в [60] в приложении Б.
155
ВСп: U = g\Vl + К"] +*? И," +й К",
G2: U = g2[v(qi -q2) + v(q2-q3) + v(qi -q3)] +
+ ?i2[i>(-29i + 9г +?э) + и(-2?2 + 9з +<7i)'+.w(-2<?3 + 9i + 92)],
F4: U = g2[Vl + K+4] +"? ^ + ?? 2 /i(?1 + S (-1)^,)),
Vf \2 /=2 /
f.: U = g2[Vi + K+s] + *2 2 +97+96 - . Д-1Г/9/)),
TT7: U = g2[Vl +K+6] +/K97-9e) +
?.: U = g2[Vt + K+8] +^SU^(-4re - Дс-О^)).
В этих формулах суммирование по индексу Vj должно удовлетворять следующим
условиям: для систем IЕ6 - УЕ6 s
Vj = 0,1, сумма 2 Vj четна;
/ = 1
для системы 1^7 - УЕ2 6
У/= 0,1, сумма 2 Vj нечетна;
/= 1
для систем 1Ее-УЕ8
7
Vj = 0,1, сумма 2 У/ четна;
для систем IF4 - VF4
"/ = 0,1.
Отметим, что для систем Ап_1, Е6, Еп и С2 имеется дополнительное
ограничение на координаты:
п для Ап _ j и G2, 97=- 9в,
2 9/ ~ 0
/ = 1 Для Л7 и 9б = 97 = -<78 для Е6.
Из приведенной выше формулы (3.8.6) видно, что система типа 5С" является
наиболее общей среди классических систем Вп, Сп и ?)". Для этой системы
^(9)=?2 2 [и(9/ - 9fc) + "(9/ + 9*)] +
j < к
+ ?? 2о(9/) +^| 2 и (29;-). (3.8.7)
156
Системы Вп, Сп и Dn являются вырожденными случаями этой системы
Вп = 0; Сп -+gt = 0; Dn -+gt = g2 = 0. (3.8.8)
Отметим, что гамильтонову систему типа ВСп можно рассматривать так же,
как систему (2п + 1) частицы на прямой А2п, при условии, что координаты и
импульсы удовлетворяют дополнительному условию симметрии
Ч-к = ~Чк> Р-к=-Рк> Ро = Яо = 0;
v п (3.8.8)
к = -п 0 п.
Отметим еще, что конфигурационным пространством для систем типа I, II и V
является камера Вейля
A = {?e?'": qa>0, а?Л+), (3.8.9)
а для систем типа III и IV - альков Вейля
К=Ы^Еп: qa>0, aeR + ; q8<d/a}, (3.8.10)
причем d = я для систем типа III и зависит от вещественного периода
функции &(q; со,, со2) для систем типа IV, б - так называемый
максимальный корень, см. [7].
3.9. Полная интегрируемость систем раздела 3.8
В предыдущем разделе был определен класс систем, связанных с системами
корней полупростых алгебр Ли.
В настоящем разделе, следуя работе [255], будет показано, что ряд
результатов, полученных ранее для простейших систем типа Ап_1, может быть
перенесен и на общий случай.
Более точно, мы построим представление Лакса для систем типа ВС", которое
позволит доказать их полную интегрируемость. Мы также покажем, что
системы типа ВСп представляют редукции геодезического потока на
симметрических пространствах типа АIII, и Дадим явные решения для
потенциалов типа I, II, III и V. Что касается систем типа Вп,Сп и Dn, они
представляют специальные случаи системы ВСп для подходящих значений
констант связи.
Системы типа Eit /=6, 7 и 8; F4 и G2 также полностью интегрируемы, однако
