Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
являются интегрируемыми системами. Однако ангармонический осциллятор,
находящийся в поле центрального потенциала, вообще говоря, не является
интегрируемой системой. Исключительным здесь является случай центрального
потенциала четвертой степени
U(r) = ar*=a(Zqf)\
для которого система оказывается вполне интегрируемой.
Мы рассмотрим сначала более общую гамильтонову систему, открытую и
подробно изученную Гарнье в 1919 г. [178]. Отметим, что Гарнье показал,
что уравнения движения этой системы можно проинтегрировать с помощью
тета-функций.
Гамильтониан системы Гарнье имеет вид
Я=- 2 р/у/+ 2 afqfX/ +(2 qfx/)2, (3.10.1)
2 / = i i i
где { р, у } - канонические импульсы, a [q,x) - канонические координаты в
стандартном фазовом пространстве IR4". При этом, как нетрудно видеть,
подпространство IR2", определяемое условиями
У1=Р], xk = qk\ j,k=\,...,n, (3.10.2)
является инвариантным подпространством для системы Гарнье. Ограничение
системы Гарнье на это подпространство приводит к интересующему нас случаю
ангармонического осциллятора с гамильтонианом
Н=- 2 pf+ 2 a,qf+( 2 qj )2. (3.10.3)
2 / = i j = i / = i
Для доказательства интегрируемости системы Гарнье проще всего
использовать представление ее уравнений движения в форме Лакса. Такое
представление было дано в работе [151], исходя из представления Лакса для
нелинейного уравнения Шредингера
?(Х)=[?(Х),Л#(Х)], (3.10.4)
6*
163
где
?(Х) = (<7 (r)e"+i -еп+1 "x)+\B+\~1(q (r)х + + Р (r)е"+1 + <?"+1 (r)>' + (<7,л)е"
+ 1 (r)<?"+1 + Л),
(3.10.5)
Л/(Х) = (<7(r)е" + 1 -е"+1 (r)*) + ХЯ. (3.10.6)
Здесь L и А/ - матрицы порядка (и + 1), { е1г. . . , еп+1} - стандартный
ортонормированный базис в пространстве F"+1,
A =dhg[a1,...,a",0],
(3.10.7)
В= diag[0,0,..., 0,1].
Лаксово представление для ангармонического осциллятора получается при
замене в (3.10.5), (3-10.6) у на ркх на q.
Рассмотрим подробнее случай общего положения, когда все величины
аразличны и отличны от нуля. В этом случае, как показано в работе [188]
.величины
Fj= 2' (а/ - a*)-1 ljk + pj + a q j + aj ( 2 q\ ) , (3.10.8)
к к
где ljk - \qjPk - QkPj)-, являются интегралами движения *), причем все
они квадратичны по импульсам.
Нетрудно видеть, что все они функционально независимы. Можно показать
также прямым вычислением, что все они находятся в инволюции. Замечая, что
1 п
Н= - 2 F,-, (3.10.9)
2 / = 1
мы приходим к выводу, что рассматриваемая система является вполне
интегрируемой. Тот факт, что интегралы движения Ff зависят от импульсов
квадратично, указывает на то, что уравнение Гамильтона-Якоби для данной
системы допускает разделение переменных. Как оказывается, в этом случае
разделение переменных происходит в эллиптической системе координат.
Относительно деталей интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби в
эллиптической системе координат см. работу [312].
Перейдем теперь к рассмотрению обобщения ангармонического осциллятора,
данному в работе [312]. А именно, возьмем систему с гамильтонианом
Н 2 р? + 2 (akql+ckqk2)+(Zql )2. (3.10.10)
2 к = 1 к
*) Полная интегрируемость рассматриваемой системы была доказана также в
работе [151], где эта система рассматривалась как стационарный поток для
многокомпонентного нелинейного уравнения Шредингера. В этой работе была
указана также рекуррентная конструкция интегралов движения.
164
Для такой системы, так же, как и для системы, рассмотренной ранее,
величины
Fj = 2' {а, - akyl(lfk + q q\qf2 + ckqjqk2) + к
+ Pj + atqf +qf (2 q2k) + qqf2 (3.10.11)
к
являются интегралами движения. Все они квадратичны по импульсам,
функционально независимы и находятся в инволюции, так что рассматриваемая
система является вполне интегрируемой. Относительно интегрирования
уравнения Гамильтона-Якоби путем разделения переменных в эллиптической
системе координат см. работу [312]. Там же приведено представление Лакса
для этой системы.
3.11. Семейство интегрируемых потенциалов четвертой степени, связанных с
симметрическими пространствами
В данном разделе, следуя работе [174], используем конструкцию
определенного семейства гамильтоновых систем, связанных с эрмитово
симметрическими пространствами. Гамильтониан такой системы имеет вид
Я=- 2 р2к + ?/(<7i, ... ,qn),
2 к = 1
где U(q 1, . . . , qn) - четный полином четвертой степени по переменным
qj. Важность изучения таких систем связана с тем, что их можно
использовать как простейшие нелинейные аппроксимации для четных
потенциалов в окрестности положения равновесия. Отметим, что такие
системы являются обобщением системы, рассмотренной в предыдущем разделе.
Напомним сначала необходимые для нас сведения из теории эрмитово
симметрических пространств. Пусть & - вещественная простая алгебра Ли.
Тогда
8=Хв>9>, (3.11.1)
где X - максимальная компактная подалгебра в 5§, 3* - пространство,
дополнительное к Хв *3. При этом
[Х,Х]=Х, [Х,^)=^, [З6,^] = X. (3.11.2)
Специфическая особенность эрмитово симметрического пространства
заключается в том, что существует элемент А & X такой, что X - это
